Sm
■
imm
fym:
Sh»a^i
mm
|g{3£($$
mm
me
iSSMffis
mm
ppig
iSssol
wzMtefm
g&am
-
i
\
%
1
/ \
V
/
.
/
-
' ■ '
}■
METHODUS
INVENIENDI
LINEAS CURVAS
Maximi Minimive proprietate gaudentes»
SIVE
SOLUTIO
PROBLEMATIS ISOPERIMETRICI
LATISSIMO SENSU ACCEPTI.
AUCTORE
LEONHARDO EULERO*
Trofejfore Regio , $ Academia Imperialis Scientia* rum pETROPOLiTANiE Socia»
i AUSANNiE & GENEVA
Apud M A R C U H-M I C H A e L E M B o u S QJJ E T & SociOSr
M B C CXLIt
METHODUS
INVENIENDI CURVAS
MAXIMI MINIMI V E PROPRIETATE GAUDENTES.
CAPUT PRIMUM.
De Methodo maximorum & minimorum ad lineas curvas invertendas applicata in genere .
D E F I N ITIO I.
EthODUS maximorum & mini- morum ad lineas curvas applicata y eil; methodus inveniendi lineas curvas , qua? maximi minimive proprietate quapiam propofita gaudeant.
Corollarium L
2. Reperiuntur igitur per hanc methodum linea? curva? y in quibus propofita qusepiam quantitas maximum vel minimum obtineat vaiorem.
Euier De Max, & Mino A Co«
x.
% DE METHODO M A X. ET MI M
CoROLL. II,
3. Cum autem eadem eurva infinitis modis fui fimilis effici queat. Problema, nifi quadam reftri£tio adhibeatur, maxime effiet indeterminatum , atque adeo nullum. Quacunque enim curva prebeatur maximi minimive proprietate prodita , fiemper alia, illi quidem vel fimilis vel diffimilis, exhiberi poffiet, qua? illam proprietatem , vel majorem , vel minorem , in fe contineret,
CoROLL. III.
4. Quoniam igitur adaequata curvarum cognitio poflulat , ut ea? ad axem aliquem pofitione datum, ejufque portiones quaficun- que qua? abficiffia? vocantur , referantur : prima eaque pra?cipua sreftrhfitio ex quantitate abfciffia? petenda erit,
C O R O L L • I V.
5. Problemata ergo ad methodum hanc pertinentia ita pro» poni debent, ut querantur linea? curvae ad axem pofitione da¬ tum relata? , quae inter omnes alias curvas eidem abficillk refipon^ dentes maximi minimive proprietate fint praedita?»
$ C H 0 L I 0 K
6 . Ha?c itaque Methodus maximorum & minimorum maxi¬ me difcrepatab illa, quam alibi expofiuimus. Ibi enim, pro data ac determinata linea curva, locum determinavimus, ubi propofita quaedam quantitas variabilis ad curvam pertinens fiat maxima vel minima. Hic autem ipfia linea curva qua?ritur , in qua quan¬ titas qua?dam propofita fiat maxima vel minima. Methodus ha?c jam fiuperiori Secuk) , mox pofi: inventam Analyfin infinitorum , excoli coepit a Celeb. Fratribus Bernoulliis, atque ex eo tempore maxima cepit incrementa. Primum quidem Proble¬ ma , quod cx hoc genere efl tra&atum , ad Mechanicam ref- piciebat, eoque querebatur linea curva fiuper qua grave de£* cendens citiffitne delabatur ; cui Curva brachjflochrom fieu hmea celerrimi defienfm nomen erat impolitum. In hoc Problemate
OSI
jam
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICAT A. |
jam manifeftum eft , id , fine adjun&a conditione , nequidena nomen quieftionis retinere poffe : perfpicuum enim eft , quo bre¬ vior magifque ad fitum verticalem accedens linea capiatur , eo fore tempus defcenfus fuper ea brevius. Quamobrem non ab- folute qua?ri poteft linea , fuper qua grave defeendens celerrime feu breviftimo tempore delabatur ; fed abfcifta? quantitas , cui curva invenienda refpondeat , fimul debuit definiri ; ita ut, inter omnes curvas eidem abfeiffa? in axe pofitione dato fumta? refpondentes , qua?rerjetur ea fuper qua corpus grave ci- tiffime delaberetur. Neque vero in hoc Problemate ifta condi¬ tio fufficiebat ad id determinatum efficiendum : fed infuper if- tam conditionem adjicere oportuit , ut curva invenienda per data duo pun<5la tranfeat ; atque iftud Problema his conditioni¬ bus adftringi debuit, ut fieret determinatum , inter omnes, fci- licet , lineas curvas per dara duo pun&a tranfeuntes eam deter¬ minare fuper qua corpus defeendens arcum data? abfeiffie rei- pondentem brevilfimo tempore abfoivat. Interim tamen hic notandum eft , conditionem tranfttus per duo pun<5ta non elfe abfolute neceftariam , fed in hoc Problemate per ipfam folutio- nem elfe illatam. In folutione enim hujus Problematis imme¬ diate pervenitur ad aquationem differentialem fecundi gradus, qua? bis integrata duas recipit conflantes arbitrarias , ad quas determinandas duobus opus eft pun&is per qua? curva traduca¬ tur , vel aliis fimilibus proprietatibus : atque ha?c eadem con¬ ditio , quali fua fponte , ad omnia iftiufmodi Problemata ac¬ cedit , quarum folutio immediate ad aquationem differentialem fecundi gradus deducit. In Problematibus autem qua? refolvun- tur per aquationem differentialem quarti vel altioris ordinis nequidem duo pundla ad curvam determinandam fufficiunt , fed tot opus eft pun&is, quot gradus differentialia obtinent Con¬ tra vero, fi folutio ftatim ad aquationem algebraicam perducat tum fine hujufmodi conditione Problema perfere erit determi¬ natum; dummodo abfciffo longitudo definiatur. Verum ha?c omnia clarius perfpicientur , quando infra ad folutiones Proble¬ matum perveniemus : ibique has notationes fufius explicabimus. Hic enim in principio jfta tantum commemorare vifum eft, ut
A 2 perverfas
/
4 D E METHODO- M A X. ET M 1 N.-
perverfas ideas circa determinationem hujufmodi Problematum tollamus.
Definitio I I.
7* Methodus maximorum ac minimorum abfoluta , docet inter ©mnes omnino curvas , ad eandem abfciffam relatas , determi¬ nare eam , in qua propofita quaedam quantitas variabilis maxi¬ mum minimumve obtineat valorem.
Corollarium.
S. In Problematibus igitur ad hanc methodum pertinentibus, datur axis politione i atque , inter omnes curvas qua? ad hunc axem ejufque determinatam portionem referri poffunt, determi¬ natur ea in qua quantitas quaedam variabilis fit maxima vel minima*
S C II 0 L r O AL
p. Aliam conditionem ad maximi minimive determinationem , prseter abfciffa? quantitatem , hic in genere non adjicimus. Dan¬ tur enim Problemata , qua? hoc modo perfe&e determinantur j quemadmodum infra diffinditis patebit. Edi enim etiam ejuf- modi Problemata occurrunt , ad qua? determinanda infuper duo- plurave punda pra?fcribi poffunt , per qua? qua?fita curva tran- feat j tamen hoc demum ex ipfa cujufcunque Problematis folu- tione perfpicietur. Namque fi ad ejufmodi aequationem pro curva qtia?fita perveniatur , in qua per integrationem novae quan¬ titates conflantes fint ingreffa? , qua? in ipfa qua?ffione non ine¬ rant i tum folutio cenfenda erit ambigua, atque vaga ; co quod innumerabiles lineas curvas 3 quae ex determinatione illarum quantitatum conflantium & arbitrariarum oriri poffunt , in fe complebitur. His igitur in cafibus erit concludendum , Pro¬ blema ex fua natura non penitus effe determinatum : fed ad ejus plenam determinationem, praeter abfciffa? quantitatem, tot no¬ vas conditiones adjungi oportere , quibus illa? arbitraria? conflan¬ tes ad determinatos valores revocentur. Pro hujufmodi autem conditionibus commodiffime affumuntur punda , per qua? curva?
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICAT A. $
Quasfita? fit tranfeundum ; totidem vero pun<5ta , quot infunt in: sequatione inventa quantitates arbitraria? , ipfain aquationem de¬ terminatam reddent. Loco pun&orum autem , ad curvam quas- fitam perfede determinandam, adhiberi etiam pofifunt totidem tangentes quas curvam quaefitam tangant 3 & , fi conta&us de- beat fieri in dato tangentis pun&o , hasc conditio duobus pun- dis asquivalebit. Quin etiam in locum pun&orum , afia? quas» eunque conditiones fubftitui potent 5 dummodo ea? ita fint com¬ paratas 3 ut per eas quantitates arbitrariae in aequatione inventa contentae determinentur. Neque vero ante opus efl folutionem ad finem perducere , quam ifta dijudicatio fufcipiatur > fed infra tradentur certa criteria , quorum ope , flarim, ex illa quantitate variabili qua? maximum minimumve efle debet , dignofci pote¬ rit qua? novas conflantes in aquationem pro curva ingrediantur , quas in quasflione non continebantur. Oriuntur autem ite conflantes arbitrarias ex gradu differentialium , ad quem aquatio pro curva qu$ fita exfurgit ; quoti enim gradus prodit asquatio differentialis pro curva quasfita , tot quantitates arbitraria in illa cenfenda? funt poteflate ineffe ; hincque totidem conditioni¬ bus opus erit ad curvam determinandam. Idem vero etiam ufis venit in folutione omnium Problematum , quando aquatio difi ferentialis vel primi vel altioris gradus invenitur > ita ut hinc in5 prasfenti inflituto nulla peculiaris difficultas inefife cenfenda fit.*
D £ £ I N I T I O 1 1 l
10. 'Methodum maximorum ac minimorum relativa docet, non Inter omnes omnino curvas eidem abfciffa? refpondentes , fed inter eas tantum quas prasfcriptam quandam proprietatem com¬ munem habeant 5 eam determinare qua? maximi minimive pro¬ prietate gaudeat,
C O R O L L, L*
xi. Ad hujufmodi igitur Problemata folvenda, primum , ex amnibus omnino curvis eidem abfcite refpondentibus ea? fime
A 3. fcgre-
0 DE METHODO MAX. ET M 1 N.
fegregande , in quas eadem prefcripta proprietas competat ; at¬ que tum demum ex his fegregatis ea que queritur debebit de- finiri.
C 0 R O L L. II.
12. Quanquam autem tali conditione numerus curvarum om¬ nium ad eandem abfciffam relatarum vehementer reftringitur ; tamen is etiamnum manebit infinitus. Quin etiam , fi non una 5 fed plures proprietates prefcribantur , quibus omnes curve ex quibus quefita eft determinanda debeant effe praeditae i tamen ujfque numerus curvarum manebit infinitus.
Coro l l. III.
i$. Quo plures itaque proponuntur proprietates , qu# iis curvis ex quibus quefitara definiri oportet communes efie «debeant ; eo magis numerus curvarum inter quas eledtio que- fite eft inftituenda reftringetur 5 etiamfi maneat infinitus.
S C H 0 L I 0 N L
14. Ex hoc genere 3 in quo Methodum maximorum & mi¬ nimorum relativam conftituimus, initio hujus Seculi, primum a Jacobo Bernoullio in medium prolatum eft famofum illud Froblema Ifoper metricum ; in quo querebatur curva maximi mi- nimive proprietate predita 3 non inter omnes curvas ad eandem abfciffam relatas , fed inter eas tantum que ejufdem edent lon¬ gitudinis i ex quo ifte curve , ex quibus quefitam erui opot- tebat 3 ifoperimetra funt appellate. Ita fi , inter omnes curvas eidem abfciffe refpondentes & longitudine equales , queratur ea que cum abfcififa & applicata maximum fpatium includat ; re- peritur quefito linea circularis fatisfacere : quod quidem jam diu ante inventam hanc methodum Geometris innotuerat , ac demonftratum erat. At, hoc cafu iterum, ex ipfa Problema¬ tum natura , nove conditiones accedunt ; uti in iis , que ad Methodum maximorum ac minimorum abfolutam pertinent 5
qua:
AD CtfRVAS INVENIENDAS APP LICAEA. 7
quae ex conflantibus arbitrariis , quas folutio inducit , funt a?fti- manda?. Ita in folutione Problematis , quo curva queritur quse inter omnes ejufdem longitudinis maximam comprehendat aream Cum abfciffia , duae conflantes nova: ingrediuntur j ex quo , ad Problema determinatum efficiendum, id ita eft proponendum , ut inter omnes curvas ejufdem longitudinis , qua? non folum eidem abfciffia? refpondeant, fed etiam per data duo punda tranfeant , quadratur ea qua? ad datam abfciflfam maximam aream referat. Atque fimili modo evenire poteft, ut quatuor punda, & plura etiam interdum , pro arbitrio aflfumi debeant , quo Problema fiat determinatum : cujus rei dijudicatio ex ipfa Problematum natura eft petenda. Quemadmodum autem , in Problemate ifoperime- trico 5 omnes curva? ex quibus quaefitam determinari oportet ejufdem longitudinis ponuntur ; ita loco hujus proprietatis alia quacunque proponi poteft , qua? omnibus communis effe debeat. Sic jam quadita? funt curva? maximi minimive proprietate prae¬ ditae, inter omnes eas curvas ad eandem abfeiffam relatas tantum* qua? circa eam abfciflfam converfa? omnes aequales fuperficies ge¬ nerent ; atque fimili modo alice quaecunque proprietates proponi poflfunt. Deinde etiam , non una , fed plures hujufmodi pro¬ prietates praeferibi poffiunt , qua? omnibus curvis inter quas ea qua? maximum minimumve aliquod continear definienda fit com¬ munes effe debeant. Ita fi quereretur curva maximi vel mini¬ mi proprietate quapiam praedita, inter omnes curvas eidem ab¬ fciffia? refpondentes , que tam effient omnes inter fe longitudine* aequales * quam- etiam areas aequales concluderent»
S C H 0 L 1 0 N It
15:. Propter hoc diferimen inter Methodum maximorum & minimorum abfolutam ac relativam, tradatio noftra erit bipartita. Primum fcilicet methodum trademus, inter omnes omnino curvas eidem abfeiffia? refpondentes , eam determinandi quie maximi minimive proprietate fit praedita. Deinde vero progrediemur ad ejufmodi Problemata, in quibus curva maximi minimive pro¬ prietate
D E M ET H O D 0 M A X ET M 1 N.
t
prletate gaudens poflulatur, inter omnes cnrvas qua? unam plu- refve propofitas proprietates communes habeant > atque ex nu¬ mero harum proprietatum iflius tractationis denuo fubdivifio orietur. Interim tamen non opus erit in hac fubdivifione lon¬ gius progredi ; cutii mox reperiatur methodus , quotcunque etiam propofita? fuerint proprietates. Problemata facile refolvendi. So¬ lutiones enim Problematum prima fronte maxime intricatorum praeter opinionem fient perquam expedita? , ac levi calculo ab- folvendae.
\ ‘ - -• ; ..
'HYPOTHESIS I.
15. In hac traBatione abfciffam , ad quam omnes curvas refere¬ mus > perpetuo littera x , applicatam vero littera y defignabimus » Tum vero , fumptis elementis abfciffa aqualibus ,fewper erit dy ^=pdXs dp = qdxj dq = rdx; dr = sdxj &c.
C O R O L L. I.
sy. His igitur fubflitutionibus omnia differentialia ipfius j cu- jufcunque gradus ex exprefiionibus tollentur , atque praeter dif¬ ferentiale dx nulla alia differentialia relinquentur. Quanquara autem hoc modo omnia differentialia , prater dx , fpecie tan¬ tum 5 non revera tolluntur \ tamen ha fubflitutiones ingens no¬ bis in prafenti inflituto afferent fubfidium.
C O R O L L. II.
18. Quin etiam hujufmodi fubflitutionibus differentialis conflantis affumtio penitus de calculo tollitur : quodcunque enim differentiale aliud conflans affirmatur, pofl iflas fubflitutio- nes perpetuo eadem formula emergere debet. Interim tamen, ob methodum infra adhibendam 3 neceffe erit differentiale dx t an quam conflans affirmere*
G O R O L-
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA, 9
C o R O L L. III.
1 g. Ut autem facilius appareat , quomodo per has fubfiitu» tiones differentialia cujufque gradus ipfiusj evanefcant; juvabic fequentem Tabellam adjeciffe.
|
dy |
p dx |
|
|
ddy |
dpdx — - |
q dx% |
|
d*y- |
dqdx |
rdx% |
|
- |
dr dx% |
sdx 4 |
|
d5 y |
ds dx * |
tdxs |
|
&c. |
&c. |
&C |
C O R O L L. IV.
20, Quod fi etiam arcus curva? abfdfla? x relpondens, cum fuis differtntialibus cujufcunque gradus occurrat ; ea omnia per iftas litteras ita exprimi poterunt , ut nulla alia diflerentialia prae¬ ter dx adfint. Polito enim arcu = » erit.
w - dw —
ddw~ dl & —
=/V (dx* + df ) —fdx\/ (l+pp) ■ dx\j (l-hpp) pq dx3.
V(i +n)
fr dx*
V( 1 "irPP) &c.
4-
q q d x:
( 1 4-/^) ?:a
C O R O L L. V.
21. Simili modo , ex his radius ofculi feu curvedinis curva** in quovis loco, per quantitates fpecie faltem finitas poterit ex» primi. Cum enim, polito elemento dx conflante, fit longitu¬
do radii ofculi = -t-tt > fiet ea
d xddy
— (1 + n ) lii a
Evler
10 DE METHODO M A X. ET M1H.
COROLL VI.
32. Porro ex iifdem fubflitutionibus erit , ut fequitur.
Subtangens
Subnormalis
Tangens
Normalis
y dx d y
ydy
‘ dx
, y dv> dy
jdw d x
. 9_
P
ZPJ
. fV(*+PP) p
-yV ( i +//)
Atque , pari modo , omnes quantitates finita? ad curvam perti¬ nentes, nifi integralia involvant, per hujufmodi quantirates fi¬ nitas ita exprimi poterunt, ut nulla differentialia amplius inef~ fe videantur.
Definitio IV.
2 3 . Maximi minimive FornuU , pro quovis Problemate , no¬ bis erit ea quantitas, qua? in curva quadita maximum mini- mamve valorem obtinere debet.
C O R o L t. L
24. Quoniam in omnibus Problematibus ad qua? ha?c Metho¬ dus eft accommodata , curva queritur qua? , vel inter omnes , vel tantum inter innumeras curvas certo modo determinatas , ma¬ ximi minimive proprietate gaudeat > ha?c ipfa proprietas , quae in curva qua?lita maxima vel minima elTe debet, erit quantitas; eaque exprimetur Formula, quam maximi minimive Formulam hic: appellamus.
AD CURVAS 1NVEN1PNDAS APPLICATA. il
C O R O L L. II.
25. Cum autem maximi minimive proprietas ita proponi de= beat» ut ad datam ac determinatam abfcifiam referatur; For¬ mula maximi minimive quoque ad illam definitam abfcifiam de* bet referri.
C O R 0 L L. III.
2 6. Erit igitur maximi minimive Formula, quantitas variabi¬ lis a longitudine abfcflfie cujulcunque cui refpondet pendens. At¬ que in quovis Problemate quadretur curva, pro qua, ad defi¬ nitam abfciflam , illa maximi minimive Formula maximum mini- mumve obtineat valoretn.
C O R O L L. IV.
27. Neque vero maximi minimive Formula a fola abfcifla pendere poteft : hoc enim fi eflet, pro omnibus curvis eidem abfcif- ix refpondentibus eundem obtineret valorem , atque idcirco omnes aequaliter fatisfacerent.
' C O R O L I. V.
28. Hanc obrem quoque maximi minimive Formula, praeter abfciflam omnibus curvis quae in confiderarionem veniunt com¬ munem , a qualibet curva peculiariter debet pendere ; ita ut una fit , pro qua maximum minimumve valorem induere queat.
S C H 0 L I 0 N L
29. Quo haec omnia clarius intelligantur , atque flatus Qu^k tionum in fequenti pertractandarum melius comprehendatur ; ponamus, vel inter omnes omnino curvas, vel tantum inter in¬ numerabiles certam quamdam proprietatem communem habentes,
quae eidem abfciiTae AZ refpondeant, eam determinari debere, Xe
B z pro
12
DE METHODO M AX. ET MTN.
Fig.t* pro qua valor formula? PV fit maximus vel minimus. Ponamus huic Qaseftioni fatisfacere curvam a m z 3 ita ut , qiuxunque alia curva ad abfciffam definitam A Z referatur , valor formulae ffl vel fiat minor quam pro hac curva, vel major : prout in curva fatisfaciente , PV vel maximum efle debet vel minimum. In hac igitur quaeftione latiffime patente , habemus primo abfciffam determinata longitudinis AZ: deinde curva eft querenda vel inter omnes ommino curvas ad eandem hanc abfciffam re» latas , vel tantum inter innumerabiles quibus una plurefve pro¬ prietates fint communes, prout quatftio ad methodum maxi¬ morum & minimorum vel abfolutam vel relativam eft accommo- data : tertio habemus eam quantitatem IV cujus valor in curva quaefita a m z maximus effie debet vel minimus ; eritque igitur quantitas PV maximi minimive formula , ficur ea eft defi¬ nita. Nunc igitur ftatim apparet hanc formulam PVha effe de¬ bere comparatam , ut ad ornnes curvas qua? quidem concipi poffunt accommodari queat. Primo fcilicet a quantitate abf- cifta? definita AZ debebit pendere; ira ut ea mutetur, valore lpfius AZ mutato. Deinde etiam a natura cujufvis curvae qua? quidem concipi poteffi peculiari modo debet pendere : nifi enim ira effet comparata , pro omnibus curvis eundem valorem fortiretur, qua?ftioque foret nulla. Quamobrem quantitas fF, praeter abfciflam , in fe quoque complecti debebit quantitates ad’ curvam ipfam: pertinentes. Cum igitur amnis curva determine¬ tur per relationem inter abfciflam & applicatam,, quantitas IV debet effe conflata ex abfeiffa & applicata, Sr quantitatibus inde pendentibus. Hoc eft, fi abfeifla indefinita ponatur =:*, & ap¬ plicata refpondens indefinita =7 i quantitas W efte debet fiinc~ tio binarum variabilium x &y. Quod cum ita fit, fi curva qua¬ cunque determinata concioiatur , atque ex ejus natura relatio inter y & a; in formula W fubftituatur , ea definit’ -m impetrabit valorem ad datam illam curvam atque ejus definitam abfciftam pertinentem. Quoniam jam , pro aliis atque aliis curvis , for¬ mula: W diverfos valores induit , etiamfi in omnibus abfeiffa eadem, capiatur i manifeftum eft inter innumerabiles illas curvas
unam
N.
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 13
unam effe debere in qua valor formula? IV maximus fiat vel minimus i atque ad hanc curvam pro data quacunque determi¬ nata quaeftione inveniendam. Methodus tradenda eft compara¬ ta»
C o R o l L. VI.
30. Erit igittir tnaximi minimive formula W , fundlio qutrdam binarum variabilium a: & y: quarum altera x abfdffam , altera^ applicatam denotat. In IV ineffe igitur poterunt , non foium lpfa? variabiles x &jy, fed etiam omnes quantitates ab iis pen¬ dentes, cujufmodi funt p> ry s, &c. quarum fignificationes fupra tradidimus. Quinetiam formula? integrales ex his orta* quacunque in IV ineffe poffunt : imo etiam debent fiquidem. quaftio debeat effe determinata , uti mox offendemus.
C o R o L L. VIL
31. Propofita igitur ejufmodi formula W , feu fun&ione ip- iarum x &y , fi quseflioad methodum maximorum & minimorum abfolutam pertineat , ejufmodi aquatio inter x & y defideratur Ut, fi in IV valor ipfius^ per at determinatus fubffituatur , at¬ que ipfi x valor definitus tribuatur; major prodeat quantitas pro W, vel minor , quam fi ulla alia aequatio inter x& y affum- ta fuiffet.
C o r o L l, VIIL
32. Hoc ergo pa&o, qua?ftiones ad dodrinam linearum curva¬ rum pertinentes ad Analyfin puram revocari poffunt. Atque vi- cilfim fi hujus generis qu^ftio in Analyfi pura fit propofita , ea ad dodrinam de lineis curvis poterit referri ac refolvi*.
$ c H o L 1 0 N ll
Bh Quanquam hujus generis quarftfones ad puram Analyfin
B 3 redu-
14 T>E METHODO M A X. ET M IN.
reduci pofTunt , tamen expedit eas cum do&xina linearum curva*9’ rum conjungere. Quod Ii enim animum a lineis curvis abdu¬ cere 3 atque ad folas quantitates abfolutas firmare velimus 5 quaes¬ tiones primum ipfae admodum fierent abftrufae inelegantes, ufufque earum ac dignitas minus confpiceretur : Deinde etiam methodus refolvendi hujufmodi quaftiones, fi in foiis quantitati¬ bus abftra&is proponeretur, nimium foret abftrufa & molefta;
. cum tamen eadem , per infpe&ioncm figurarum & quantitatum re- prafentationem linearem, mirifice adjuvetur atque inteile&u fa¬ cilis reddatur. Hanc ob caufam , etli hujus generis quaeftio- nes , cum ad quantitates abftraSias , tum concretas applicari pol- funt , tamen eas ad lineas curvas commodifiime traducemus & re- folvemus. Scilicet quoties tequatio ejufmodi inter x Sc y que¬ ritur , ut formula quadam propolita & compofita ex x & y , ii ex illa aquatione quaefita valor ipfius y fubrogetur, &ipfi x de» terminatus valor tribuatur, maxima fiat vel minima: tum fem- per quseftionem transferemus ad inventionem lineae curvae , cu¬ jus abfeiffa fit *, & applicata)?, pro qua illa formula W fiat maxima vel minima , ii abfcifta x datae magnitudinis capiatur. His igitur notatis , natura hujufmodi quaeftionum fatis luculen¬ ter perfpicitur : nixi forte cuiquam adhuc dubium creat ambigua locutio de maximo & minimo fimuL Verum ne hic qmdem iillaadeft ambiguitas,- nam etfi methodus ipfa aeque monftrat ma¬ xima & minima, tamen in quovis cafu facile erit dilcernere , u- trum folutio pra^beat maximum an minimum, Sape numero au¬ tem evenire poteft, ut in data quaeftione tam maximum quam minimum locum obtineat , atque his canbus folutio erit duplex, altera monftrante maximum , altera minimum. Plerumque au¬ tem alterutrum , fcilicet vel maximum vel minimum folet efte impoffibilei quod evenit, fi maximi minirnive formula in infini¬ tum vel crefcere vel decrefcere poteft j his enim cafibus , vel non dabitur maximum , vel non minimum, Ufu venire etiam poteft, ut formula propofita W in infinitum tam crefcere quam decrefcere queat, atque his calibus nulla prorfus folutio locum
habe-
*
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 15
habebit. Ha?c autem difcrimina eunda ipfe calculus poft folu- lionem perpetuo monftrabit.
Propositio I. Theorema.
34. Ut per maximi minimive formulam curva determinetur
a m z , qua pra omnibus reliquis fatisfaciat , formula W debet effe quantitas integralis indefinita , qua , nifi data ajfumatur relatio in » ter x & y 3 integrari nequeat .
DEMONSTRA T I 0.
Ponamus enim formulam W integralia indefinita non invob Terei erit ea fundio quantitatum x 8c j, indeque pendentium
p, q > r , s , &c. vel algebraica, vel talis tranfeendens qua? fine affumta relatione inter x & y exhiberi poflit i quod evenit , fi vel logarithmi harum quantitatum , vel arcus circulares , vel aliie hujufmodi quantitates tranfeendentes definita? ingrediantur, qua? algebrarcis a?quivalentes funt cenlenda?. Quod fi jam W ponatur functio talis ipfarum x 8c y rarstum, manifeftum eft va- iorem formula IV , quem pro data curva amz ad datam abf- ciffam A Z relata obtinet , tantum ab ultima applicata Z z pendere ; atque pro omnibus curvis in Z eandem applicatam Z z habentibus fore eundem ; atque adeo tali formula W indo¬ les totius curva? non determinabitur, fed tantum politio extremi ejus pundi z,- li in W pra?ter at & y etiam quantitas p iniit, fum praeter longitudinem applicata? Z z politio tangentis curva?
in z, feu politio ultimi elementi in z determinabitur. Sin au- \\ fem infuper q ingrediatur , tum politio binorum elementorum- curva? contiguorum in z determinabitur, & ita porro. Ex qui¬ bus fequitur, li fuerit IV fundio determinata ipfarum at, y, p ,
q. ry8tc. tum per illam tantum curv^ portionem infinite par*
vam circa extremitatem z determinari : atque pro omnibus cur¬ vis in eandem extremitatem delinentibus eundem valorem iplius W effe proditurum. Ut itaque per formulam W tota curva amz, quatenus toti abfciifa? AZ relpondet, definiatur, for¬ mulam* >
1 6 DE METHODO MAX. ET M J N.
mulam IV Ita oportet effe comparatam , ut ejus \ alor ad deter¬ minatam curvam ainz applicatus, a politione Ungulorum elemen¬ torum hujus curva? intra terminos a & z litorum pendeat. Hoc autem evenire non poteft , nili quantitas IV iit formula integra- lis indefinita , quas generatim fine affumta aequatione inter x & y integrationem non admittat. Q. E . I).
C O R O L L. I.
35. Nifi igitur maximi minimive formula W fit quantitas ln- teeralis indefinita , nequidem linea curva in qua valor ipfius IV iit maximus vel minimus determinabitur ; atque adeo quasf* tio de invenienda curva, in qua effet IV maximam vel mini¬ mum erit nulla.
C O R O L L. II.
36. Ut igitur curva aflignari poflit, in qun valor ipfius TV pra? aliis fit maximus vel minimus , formula IV talem formam fzdx habere debet j atque quantitatem Z ita comparatam efTe oportet ut differentiale Z d x , nifi aequatio ftatuatur inter x & y , integrari nequeat.
S C H 0 L I 0 N.
37. Quoniam maximi minimive formula IV debet efTe inte- grale formulas differentialis indefinita? primi gradus ; hoc eft cujus integrale fiat quantitas finita i ea formula differentialis femper ad hujufmodi formam Z d x poterit reduci , ope litterarum/,^, r , &c. Et hanc ob rem in fequentibus maximi minimive formu¬ la perpetuo per fZidx nobis indicabitur. Erit autem Z fun&io non folum quantitatum x & y, fed etiam continebit litteras
^ , r, &c. Ita fi area AazZ debeat effe maxima \d mi¬ nima, formula /^"abibit in fydx\ &, fi fuperficies folidi ro¬ tundi quod generatur rotatione curva? amz circa axem AZ debeat effe maxima vel minima 3 erit W— f)dx * +*// ) ;
atque
AB CURVAS 1NVLNIPNBAS APPLICATA . 37
atque ita porro quacunque formula debeat in curva quasfita effe maxima vel minima, ea femper erit hujus formas fZdx^ fcili- cet integrale quantitatis finitas cujufdam Z in differentiale dx dubas. Debet autem Z ejufmodi e0e quantitas, ut fi aquatio ftatuatur inter x & y , integrale fZdx determinatum obtineat valorem: ex quo Z erit funbio quantitatum *, 7, & inde pen¬ dentium p , q , r, &c. vel algebraica five determinata , vel pras- terea ipfa in fe complebetur formulas integrales indeterminatas » quod difcrimen probe eft tenendum. Ita fi maximi minimive formula W fuerit fy dx , f y d x \JQi -\-p p') i quantitas Z erit algebraica, at fi fit lV=fy x dxfy dx , tum erit Z=yxfydx , hoc eft ipfa quantitas Z erit indeterminata, cujus valor nifi re¬ latio inter* & y detur, exhiberi nequit. Quin etiam evenire poteft, ut valor ipfius Z hujufmodi formula evoluta exprimi nequeat, fed tantum per aquationem differentiaiem demum erui debeat, ut fi fuerit dZ=ydx + ZZdxj ex qua asquatione valor ipfius Z per * & y nequidem exhiberi poteft. Hinc igi¬ tur tria nafcuntur genera formularum fZ dx , qua? in curvis quas- fitis maxima vel minima fieri debent. Quorum primum eas com¬ plebitur formulas , in quibus Z eft funbio algebraica feu deter¬ minata ipfarum *, y3 & /, q , r , &c. Ad fecundum genus refe¬ rimus eas formulas , in quibus quantitas Z ipfa infuper formu¬ las integrales involvit. In tertio autem genere continentur eas formula, in quibus valor ipfius Z per aquationem differentia- km cujus integratio non conftat determinatur.
Propositio II. Theorema.
3 §« Si fuerit a m z curva , in qua valor formula fZ dx fit ma¬ ximus vel minimus , atque Z fit functio algebraica feu determina¬ ta ipfarum x, y, p, q , r, &c. tum ejufdem curva quacunque port/ o mn eadem gaudebit prarogativa , titproea ad fuam abfcifam
M N relata , valor ipfius f Z d x fit pariter maximus vel mini -
mus.
Euler De Max. & Min .
i
sg DE METHODO M A X. ET M 1 N.
DEMONSTRA T I 0<
Valor formula? / Z dx pro abfcifta AZ eft aggregatum om¬ nium vaiorum ejuidem formulae, qui lingulis abfcifta: AZ por¬ tionibus refpondenr. Quod fi ergo abfcifta AZin parter quot- cunque, quarum una fit MN, divifa concipiatur, atque ad lingulas partes hafce valor formulae fZdx exhibeatur; fumma omnium horum vaiorum praebebit valorem formulae fZdx ^ qui toti abfciffe AZ convenit; & qui erit maximus vel mini¬ mus. Quoniam autem Z ponitur fundio algebraica ipfarum x, y , />, q, &c. valor formula? fZdx refpondens abfcifta? portio¬ ni MN,a fola portionis curvae refpondentis m n indole pende- bit , idemque manebit, utcunque reliqua: partes am & nz va¬ rientur ; fingularum enim litterarum x, q , &c. valores per folam curva: portionem' mn determinantur. Si ergo formulae fZdx valores, qui conveniunt abfcifta? portionibus AM,MN, NZ, ponantur P, quantitates hae P, Q> & R, a fe
mutuo non pendebunt. Quare cum earum aggregatum Pa~Q^ + R fit maximum vel minimum , etiam unaquaque maximi mi- nimive proprietate prsedita fit necefte eft. Hanc ob rem, fi in curva amz formula fZ d x maximum minimumve habeat valo¬ rem, & quantitas Z fit fundio algebraica ipfarum x,y>p> q * &c. tum etiam , pro qualibet illius curva? portione , eadem formul& fZdx maximi minimi ve proprietate gaudebit, Q^E. D .
C O R O L L. I.
Quod fi ergo curva fuerit inventa am z, qua: pro abfcift fa data AZ, habeat valorem formula zfZdx maximum vel mi¬ nimum , atque Z fit fundio algebraica feu determinata , tum etiam ejufdem curvas quaslibet portio , refpedu abfcifta? fuas ref¬ pondentis , eadem maximi minimive proprietate gaudebit.
C Q-
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA . z$
C O R O L L. II.
40. In hujufmodi igitur Problematibus , ubi tale maximum mi- nimumve qua?ritur, non opus eft quantitatem abfciffa?, cui ma¬ ximum minimumve refpondeat, definire > fed fi, pro una quacun¬ que abfcilfa , formula f Zdx fit maximum vel minimum , tum ea* dem pro quacunque alia abfcififa eadem proprietate gaudebit.
C G R O L L. III.
41. Hujufmodi igitur Problemata refolventur, fi fingula? cur* va? qua?fita? particula? ita determinentur , ut pro iis valor formu¬ la? f Zdx fiat maximus vel minimus. Tum enim fimul tota eurva 5 . quacunque ejus portio 3 pa-rke? eadem maximi minimi- ve proprietate erit inftruda.
S C H 0 L I 0 N.
42. Proprietas ha?c, qua gaudent curva? in quibus iftius mo= di formula? f Zdx , ubi Z eft fundio algebraica feu determinata ipfa um x } y} p, q , &c. fiint maximum vel minimum, eft ma¬ ximi momenti; ea enim inmtitur univerfa methodus hujus gene¬ ris Problemata relolvendi. Ideo autem potiffimum hanc Propo- fitionem afferre vifum eft , ne ea proprietas , qua? his tantum formulis f zdx, ubi z eft funftio vel algebraica vel determina¬ ta, eft propria, omnium omnino formularum . qua? proponi pof- funt communis efle putetur : in fequente enim Propofitionc demonftrabimus, fi in z infint formula? integrales; tum eandem proprietatem non amplius locum habere : ex quo fimul natura hujufmodi quadtionum clarius intelligetur. Hujus autem pra?- lentis Propofitionis demonftratio ex eo petita eft fundamento, quod valor formulae fzdx , fiquidem z eft fundi o vel alge¬ braica vel determinata ipfarum x}y,p, q 3 r, &c. qui conve¬ nit cuicunque abfeiffa? portioni MN, a fola curva? portione ref- pondentemn pendeat, neque a reliqua curva, vel anteriore am, vel pofteriore nz afficiatur : qua? ratio ceftat, fi in Z infint for-
C z mula?
Z& t)E METHODO MAX. ET MlN'.
mula; integrales indeterminata Valores enim quantitatum x}y^ $ > q A » &c. qui pro arcu curvae m n obtinent , tantum a politione elementorum hujus arcus mii, atque elementis aliquot conti¬ guis quae arcum finitae quantitatis non conftiruunt pendenti ex quo etiam quantitas ex iis litteris utcunque compofita per folam Sircus m n indolem determinabitur , nifi adfuerint quantitates in-^ regrales, eujufmoai funt Jjdx , quae totam aream anteriorem A a mM introduceret , vel fdxsj ( i +// )'3 quae totum arcum praecedentem am involverer. Hinc igitur diftin&ius intelligi- tur, quid per fun&ionem determinatam ipfarum y, q , r\ &c. denotare velimus: FunCtio fcilicet determinata ita eff com¬ parata, ut, pro quovis loco, a praebentibus valoribus litterarum / i q 3 &e. tantum pendeat , neque valores earum ante¬ riores in fe compleCtatur. FunCtio autem indeterminata cft ta¬ lis, cujus valor in quovis loco, non ex folis valoribus quos hae littera? x, y, />, q > &c. in ifto loco obtinent determinari poteft,- fed infuper omnes valores ad fui determinationem requirit , quos ifta? littera in omnibus locis anterioribus obtinuerunt. Ita'
X.
patet, omnes functiones algebraicas effe fimul determinatas; prae¬ terea vero etiam omnes functiones tranfeendentes , quae a rela¬ tione inter x & ) non pendent funt determinatae , cujufmodi
funt, l\/ (xx +77) 3 Alin. — ; quarum valores in quovis-
loco ex valoribus litterarum, quos in hoc folo loco obtinent, aflignari poffunt. Quando autem in functione quapiam infunt formulae integrales indeterminatae , quae a mutua relatione inter x &7, quam ubique tenent , pendent , tum earum valor, in dato loco, non ex valoribus , quos ha? littera? in ifto loco habent, eognofd poteft, fed infuper omnes valores in locis quibufque anterioribus nofte oportet, hoc eft generalem relationem inter coordinatas x & y : talefque funCtiones vocamus indererminatas, quippe quae toto coelo diverfa? funt ab iis , quas determinatas appellavimus,.
Pro-
AD CtlRVAS INVENIENDAS AP PLICAT A. z%
t
Propositio III. Theorema.
4$. Si fuerit a m z curva abfcifa A Z refpondens , fZ cfx
maximum vel minimum ,■ in Z autem contineantur formula in¬ tegrate indeterminata y tum eadem maximi rmnimtve proprietas non cadit in quamlibet curva portionem , fed toti tantum curva abfci fa AZ refpondenti propria erit *
DEMONSTRATI CK
Concipiatur tota curva' a mz, pro qua fZdx eft maximum tel minimum , in duas partes quafque divifa per applicatam- Mm; fifque formula? fZdx valor conveniens portioni am'= P, ejufdem autem formula? valor pro altera portione mz fit pro tota igitur curva a m z valor formula? fZ dx erit = quem ponimus effe maximum vel minimum. Quo
autem omnem ambiguitatem tollamus , totamque rem diflinc- tius proponere queamus ; ponamus P -f- effe- maximum : quod enim de maximo demonftrabituf, idem de minimo- facile intel- ligetur. Quod fi jam valor ipfius Cfp valore ipfius P non pen¬ deret , tum aggregatum P + ££ maximum effe non polTet, niti fimul uterque valor P & feorfim fit maximus. At nofiro: cafu, quo quantitas Z in fe continet formulas integrales indeter¬ minatas , valor ipfius Q^non tantum a curva? portione m z ad quam refertur pendcbit, fed fimul a tota curva anteriore am ; atque adeo a valore ipfius P. Nunc dicimus, ad id ut P-f- fit maximum, non requiri , ut valor ipfius P fit maximus. Po¬ namus enim portionem curva? am ita effe comparatam, ut pro ea P fit maximum , & aliquantillum’ m utar i’ concipiatur portio' curva? am, ita ut valor formula? fzdx minor evadat, puta = P — p : fieri utique potent ut ex hac mutatione valor ipfius Qcrefcat, quod incrementum ponatur q\ eritque , mutata aliquantillum por¬ tione am, ita ut pro ea fzdx non amplius fit maximum, va¬ lor formula? fzdx pro tota curva amz = P — p + Qfrf Cum igitur evenire queat ut fit f >/>, intelligitur formti-
C 3. ia m
H „ D E METHODO M A X ET M I N.
lam fzdx pro tota curva amz maximam e£fe poffe, etiamfi maxima non fit pro qualibet portione am. E . D,
. C O R O L L. I.
44. Quando ergo curva fuerit inventa , qua? , pro data afcfcifc fa A Z, habeat valorem iormulo fzdx maximum vel minimum , & Z fit fun&io indeterminata ; tum non fequitur quamlibet cur* vx inventa portionem eadem maximi minimive proprietate fo¬ re proditam,
C O R o L L. I L
4J. In refolutione igitur hujufmodi Problematum , in quibus curva quontur , quae pro data abfciffa A Z habeat f Z dx ma¬ ximum vel minimum , perpetuo ad totius abfciffo propofito quantitatem erit refpiciendum , atque maximum vel minimum ad eam tantum, non vero ad ejus quamlibet portionem, accom¬ modari debebit,
C O R O L L. III.
4 6. Maximum igitur hinc patet difcrimen , quod inter formur* las fZdx , in quibus Z flindio eft determinata vel indetermina¬ ta, intercedit; fimulque autem Methodorum diverhtas intelligi- tur, quibus ad refolutiones quoftionum , in quibus hujufmodi formularum maximi minimive valores requiruntur, uti opor¬ tebit*
S C H 0 L I 0 N.
47. Ex demonftratione hujus Propofitionis non quidem ne- cdfario fequitur , h pro data abfciffa A Z curva habeat formu¬ lam f£dx maximam vel minimam, tum fingulas ejus portiones eadem hac prorogativa gaudere > verumtamen fatis intelligitur, quoties eadem proprietas in fingulas portiones competat, idea-
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA . 23
fu evenire. Hincque nihilominus fumme neceflarium ef! , fo- lutionem perpetuo ad totam propoiitam abfciffam accommodare. Interim tamen , in Problematibus ad methodum relativam perti¬ nentibus evenire poteft, ut formulas fZdx , in quibus Z fit func¬ tio indeterminata , quafi determinata effet tra&are liceat. Hoc fcilicet accidit, fi inter omnes tantum curvas in quibus for¬ mula: ilice integrales indeterminata: qua? in Z infunt a:quales obtinent valores , ea defideretur, in qua fZdx fit maximum vel minimum : hoc enim cafu formula: ilia: integrales indeter¬ minata: feri cenfenda: funt determinata:. Ita fi , inter omnes curvas ejufdem longitudinis, determinanda fit ea in qua fit f z dx maximum vel minimum, atque in Z praeter quantitates determinatas , iniit arcus curvae fdx y/ ( 1 +/>/>) ; hic, quia in omnibus curvis ex quibus quaditam definire oportet , eundem obtinet valorem, inflar fun&ionis determinata tradari poterit ; Mac autem eunda in fequentibus clarius explicabuntur.
H Y P O T H E S I S I L
48. Si curva ahfcifa A 21 in elementa innumerabilia infinite parva & inter fe aqualia diffeeetur , cujufmodi funt I K , K L , LM, &c. atque portio quacunque A M vocetur X , cui refpondeai f unci io quacunque variabilis F , eandem functionem F , quatenus re¬ feretur ad puncia ahfciffa vel fequentia N, O, P, Q^, (fc. vel antecedentia L , K , I, (jrc. ita denotabimus , ut ft vador ifius func¬ tionis qui pro puncio M eft =- F , ut fequitur .
pro N = F' 1 pro O = F" I
pro P = F" pro Fn/
pro^ R = Fv
y pro punitis Ahfciffa fequentihus
J
SCC r
.
t
\\
2# DE METHODO M A X. ET M I N.
proH — Fa/ &c.
r\
pro punctis abfcijfa antecedentibus ,
Atque hoc pacto , fine prolixa differ entialium fcriptione , volor func¬ tionis cujufcunque variabilis , qui in quovis abfcijft punEto locum obtinet , commode indicabitur.
C Q R O L L. I.
4 s>. Cum igitur fun&ionis cujufque valor, in loco quocun¬ que , fit «qualis fuo valori in loco antecedente differentiali fuo au(5to3 erit
|
F —F + dF |
F — F, +dF, |
|
F' F +dFf |
F, =F„ 4~ d F/j |
|
F" — F" -\~dF" |
F/j Fnj-\~d F,it |
|
F" ~^F>'+dY" |
F/,, F A/-f- dFlu |
|
&c. |
&c. |
C O R O L L. II.
50. Si ex lingulis abfciffae divifionibus applicata; ducantur 3 ,atque ea qu« abfciffse AM =x refpondet, nempe M m, po¬ natur = y 3 reliquas tam fequentes quam antecedentes , ita de¬ notabuntur
|
Mm — y |
Mm — 7 |
|
Nn — y |
L1 — y, |
|
Oo =/ |
Kk =y. |
|
Pp — /" |
1 1 ■ — y<n |
|
Q_q =f |
Hh — yN |
|
&c. |
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA ?
n
C O R O L L, III.
5 j . Cum deinde valor ipfius /- fit
ijy
N n — M m
j ent
d x d x
; fequentes autem pariter ac antecedentes ipfius f valores ita fe habebunt ;
P
P'
P
P
_ y
.n
d x _ d x
r—f
d x *i,Xr J"
y — y
d x '&c.
P P /
_ y
d x
.y — y,
d x
P„ =*
y<>
d x
/ji
d x &C.
C O R O L L. IV.
5 2 .Deinde^quia efl: ^ .
J/?
erit*==£=^li
1 dx%
dxJ d x
cx quo quantitatis ^ valores 3 cum fequentes tum antecedentes , ita fe habebunt :
4
f
2/ + ?
J?
'/v
2/+/
dxz
- 2jyw+/
&C.
L//
zy' +y
q,
4*
dxz
'*y +y*
dx%
d xz &c.
C o R O L L. V.
5 3* Simili lpitur modo per ifta applicatarum figna poterunt Euieri dc Max. & Mint D yajQa
16 DE METHODO M AX. ET M 1 N.
valores quantitatum r , s, t, &c. ut has fupra afTumfimus , de« terminari 5 atque ex figura definiri» Erit fciiicet
y"— 3^+a/-— «y
d X3
yw ~~~~ 4 y;// Hh 4/ -f ay
dx^
y' — 4- 1 oy,f/ — - 10/+ jy
d x5
o
unde harum litterarum7 valores tam procedentes quam antece¬ dentes formari poliunt»
€ o r O l 1. Vi:
X'
54. Quod fi autem formula fZdx ad abfcilfam AM fuerit relata ; erit ejus vaior fequenti abfciffo elemento M N =r dx refpondens= Zdx. j-fincque fimili modo formulo fZdx valores lingulis abfcilfo elementis refpondentes denotabuntur ut fequitur
pro MN pro L M pro K L pro I K
pro M N pro N O pro O P pro P Q
Z dx % dx Z' dx Z"dx
&c.
Z dx Z dx Z„ dx
Z//{dx
&c„
£ O R O L I. V I L
55'.*' Si ergo exprellio fZ>dx ad abfcilfanr curvo AM = r pertineat ; ejufdem expreilionis vaior 3 qui conveniet abfcifik propofito AZ, erit =.[Zdx-\- Zdx -f- Z1 dx-\- Z f dx -\r Z"d x 4- &c.. in infinitum , donec perveniatur ad ultimum pundum Z.
£ O R O L L. VIII.
Si igitur curva inveniri debeat 5 quo pro- data abfcilfa AZ
valo-
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 27
valorem formulas fZdx habeat maximum rriinimumve ; tum, pofita abfciffa quacunque indefinita AM=^, efficiendum eft ut hasc expreflio fZdx+Zdx -j~.Z dx -f- Z' dx-\-Z"dxJc ufque in Z fiat maxima vel minima.
~:S C H 0 L I 0 N.
57. Quanquam hasc hypothefis tantum pro arbitrio eft fafta * tamen ifta figna maximam afferent utilitatem ad Problemata } quas ad hanc methodum maximorum & minimorum pertinent, fuccin&e refolvenda. Plurimum enim valet in hujufmodi nego¬ tiis commoda lignorum eledtio , ejufque ope calculus non foium contrahi , fed etiam multo facilior & expeditior reddi poteft. Pradfabit autem ifte lignandi modus longe alteri recepto, quo per differentialia valores functionum variabilium proxime fequen- tes exprimi folent ; eo quod in ipfa reiolvendi methodo alius generis differentialia occurrent , quas cum naturalibus quantita¬ tum variabilium differentia I ibus fkcile confundi polfent, nili, if¬ ta alfumta lignandi methodo o naturalia differentialia notatione /altem tollerentur»
Propositio IV. Theorema.
58. Si amnoz fuerit curva ad abfeifam datam A Z relata 3 in qua formula fZdx maximum minimumve obtineat v alor em s at¬ que alia concipiatur curva ami^oz ab ifa infnite parum dif cre¬ pans , tum v alor formula fZ dx pro utraque curva erit idem > '
V 1 '■ „ * '
DEMONSTRATIO.
Quando in Analyfi formula quapiam variabilis fit maxima , tum primo crefcendo continuo magis ad maximum valorem ac¬ cedit, deinde vero cum hunc attigit , iterum decrefcendo ab eo recedit. Ifte autem accelfus ad maximum valorem atque recef- fus ab eodem ita fit , ut dum quantitas proxime ad maximum valorem verfatur3 tum ejus incrementa ac decrementa momenta-
D z nea
i
2% DE METHODO M AH, ET M 1 N.
nea evanefcant; hocque idem de minimo eft intelligendum. Dantur quidem etiam ejufriiodi maxima & minima , circa quse incrementa & decrementa fint infinite magna ; verum hujus ge¬ neris maxima & minima in pra?fenti inftituto raro locum inve¬ niunt, & fi inveniunt, facile erit ea determinare. Sufficiat igitur notaffe circa maximum & minimum mutationes momentaneas non dari polle finitas. Quod fi ergo in curva a m n o z expref- fio fzdx maximum minimumve habeat valorem ; pro alia cur¬ va ejufdem expreflionis valor eo magis a maximo minimove re¬ cedet, quo magis haec alia curva’ ab illa difcrepet. Sin autem alia curva infinite parum differat ab illa fatisfaciente, tum , pro utra¬ que, formula fzdx eundem obtinebit valorem. Hujufmodi autem curvam minime difcrepantem concipiemus, li arcum tan¬ tum infinite parvum mno infinite parum variari, ejufque loco arcum m vo fubftitui ponamus. Quamobrem ex curva az, pro qua fzdx maximum eft vel minimum, portionem infinite par¬ vam mno exfcindi , ejufque loco aliam m v o infinite parum ab illa difcrepantem inferi intelligamus ; tum valor formula? fzdx qui convenit curva? amnoz aequalis erit valori, qui convenit curva? a m y o z, & D .
^ Cor d t t. t-
5p. Quoniam mutatio debet poni quamminima' ; non fuffi- ciet arcum mno, qui immutari ponitur, accipere infinite par¬ vum, fed etiam deviatio nr, pra? arcus longitudine mn o , de¬ bet effe infinite parva.*
Cor o i i. I I.
6o. Pofita igitur tali mutatione in curva, mutatio inde etiam in valore formula? fzdx orietur; qua? autem per demonftra- tionem erit evanefcens. Atque hoc modo ex tali afff mta mutatio¬ ne orietur aequatio , qua? fimul curva? ,qua?fita? hnaturam praebe¬ bit.
•
$ C H 0-
AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA, . 2p S C H 0 L I 0 N.
6i. In hac Propofitione continetur univerfa methodus re-' folvendi Problemata, quibus curva defideratur in qua valor for¬ mula cujufdam indeterminata mfzdx iit maximus vel mini¬ mus. Semper enim concipitur portio curvo? infinite parva , uti mno, aliquantillum variari in m^o, atque tum queritur dif¬ ferentia valorum quos formula fz dx\ cum pro curva vera amnoZj tum pro fida amvoz, fortitur , eaque differentia nihilo aequalis poiita dat naturaih curva? quafita. Mutatio au¬ tem ifhvin loco indefinito fieri debet, ut ad totam curvam per¬ tineat , atque ad lingula loca pateat. Poteft autem ifta muta¬ tio utcunque inffitui , dummodo fit infinite parva, atque vel ad duo vel plura curva3 elementa extendi ; femper enim eadem re- fultare debet aquatio finalis. Interim tamen calculi commodi¬ tas poftulat , ut mutatio in tam paucis elementis inftituatur , qua fufficiat ad folutionem abfolvendam Ita fi, inter omnes omnino curvas eidem abfalTa refpondentes , ea determinari de¬ beat , in qua fit fZdx maximum vel minimum ; tum fnfficiet bina tantum curvae elementa mutata concipere. At fi non in¬ ter omnes curvas , fed eas tantum qua? unam- plurefve expref- fiones communes habeant, ea definiri debeat in qua quaepiam- quantitas fit maxima vel minima f tum mutationem non quam¬ cunque m v o accipere licet , fed talem flatui oportet, ut illa? proprietates omnibus curvis communes conferventur. His igi¬ tur cafibus , duo elementa non fufficient , fed plura accipi de¬ bebunt , ut omnibus conditionibus fatisfieri queat,-
Definiti o V.
61. Valor Different talis data? maximi minimive formula ref- pondens eft. differentia inter valores , quos hac formula , cum in ipfa curva quafita, tum in eadem infinite parum immutata, obtinet.
3©
DE METHODO M A X, ET MIN
C © R O L L. L
£3. In curva igitur, pro qua data formula, puta/Z^tfj maximum minimumve effe debet, hujus formulae valor differen- tialis refpondens* evanefcet. Atque hanc ob rem fi valor diffe,- rentialis nihilo «qualis ponatur s habebitur «quatio > qua curvae qu«fit« natura exprimetur.
C O R O L L. II.
r
64. Ex invento igitur valere differentiali, qui propofit« maximi minimive formul« refpondeat, flarim habebitur «quatio ex- .primens naturam ejus curvae , in qua formula illa propofita ma¬ ximum minimumve habeat valorem.
C O R O L L. III
65 . Totum igitur negotium ad curvas inveniendas y qu« .maximi minimive proprietate gaudeant , eo efl redudum , ut pro quaque maximi minimive formula ejus conveniens valor dif- ferentialis invefligetur.
S c H 0 L I 0 N,
66. Cum igitur in genere tradita fit idea non folum natir- r« qu«flionum , quibus curv« maximi minimive proprietate pr«- dit« qu«runtur, fed etiam methodi, qua ad eas refolvendas uti oporteat , ad ipfam tradationem progrediemur. Ac primo qui¬ dem Methodum abfolutam , qua cur v« qu«runtur qu« inter omnes omnino curvas ad eandem abfciffam relatas maximi mi¬ nimive proprietate quapiam fint pr«dit« , trademus. Deinde pergemus ad Methodum maximorum ac minimorum relativam, ad quam tales pertinent qu«fliones , qu« non inter omnes cur¬ vas dat« abfciffe refpondentes , fed eas tantum qu« data qua¬ dam communi proprietate una pluribufve gaudent, eam determina¬ ri jubent, cui maximi minimive praerogativa qu«piam conve-
»
'AD CURVAS INVENIEND AS APPLICATA. H
ruat. In has aurem tra&ationes natura formulas fZ^dx^ quar maximum minimum ve effe debet, ingens difcrimen infert , pro¬ ut 2 fuerit fundio vel determinata vel indeterminata > quemad¬ modum jam obfervavimus.
CAPUT II.
De Methodo maximorum ac minimorum ad lineas cur -
vas inveniendas abjoluta .
<g)
Propositio I. Problema.
0 ^ i. OI in curva quacunque amz 'una applicata quavis Nn au- A w3 geatur particula infinite parva n v ; invenire incrementa vel decrementa , qua fingula quantitates determinata ad curvam pertinentes hinc accipient.
S 6 LUTI di>
Quantitates determinata? ad curvam propofitam pertinentes funt, praeter abfciflam quae non afficitur, hae y , p , r, /,
&c. cum fuis derivatis valoribus, quos in locis vel fequentibus vel antecedentibus- fortiuntur. Quod fi nunc ponamus A M ==x,
Sc Mm— eritNn=y, hujufque valor per translationem pundii n in v augebitur particula ni/ 5 reliquar autem applicatas / 3 y" 3 f 3 &C. pariter ac praecedentes yt , y„ , y/n , ytv Scc . non afficientur. Cum igitur fola applicata y crefcat particula n ex Cap. praec. §. §. f i & feqq. colligetur quantum incrementum reliquas quantitates omnes capiant ex incremento folius applica¬ tae y'. Omnes fcilicet quantitates , quarum valor pendet ab y' 3 mutationem fubibunt 5 reliqua vero , quee ab y non pendent,
manebunt invariatae. Ita cum fit p =fi—AZl haec quantitas p crefcet particula ; at cum fit / , hate quantitas
e / dc"
S'2
DE METHODO M A X ET MI N. ABSOLXJTA
f' decrefcet particula — . Similique modo reliquarum quanti¬ tatum incrementa vel decrementa repedentur., delendo in ea¬ rum valoribus iupra exhibitis omnes valores ipfius y , praeter hunc /, hujufque loco fcribendo ny. Hoc modo omnium quan¬ titatum determinatarum , qua’ quidem mutationem patiuntur , incrementa in fequenti Tabella congeflimus
|
Quatit. |
Increm . |
Quant. |
Increm . |
|
t y |
+ nv |
s"c |
|
|
/ |
, n v + dx |
S/,\ |
4«v x* |
|
/ |
n v d x |
Sj |
6«» dx 4 |
|
f/ |
^ dxz |
s |
4«i> dx* |
|
y |
2 n v Ih? ' ' • |
f s |
dx* |
|
r y |
, «v |
1 / ; *i\t. |
n v dx% |
|
r /, |
4. ifi dx* |
tn. |
S ti v d x5 |
|
r / |
3 » v |
tu |
. IO n\) dxs |
|
r |
awi/ |
t, |
_ lony dx? |
|
r r |
dx} |
t |
+ lnr dx? |
|
t' |
n y dx? |
Atque ex hac Tabella etiam ulteriorum quantitatum > fi qu^e occurrunt , incrementa vel decrementa facile cognofci poterunt»
(L £ h ' " n ~ ‘ ‘ : ‘
Afi CtJEVAS INVENIENDAS AESOLVTA. 33
C O R O L L. L
2. Cognitis igitur incrementis harum quantitatum primaria-» rum ad curvam pertinentium , inde omnium quantitatum ex iis compofitarum incrementa , qua? oriuntur ex au&a applicata^ de« terminari poterunt , fi ratio compofitionis fpe&etur.
Coro l l. II.
3. Harum fcilicet quantitatum incrementa exhibita, confidera- ri poterunt tanquam earum differentialia, Atque fi propofita fuerit quantitas quacunque ex iliis compofita , ejus conve-. niens incrementum ex tranfiatione pun<5ti n in v ortum invenie¬ tur , differentiando illam quantitatem , & loco different ialium lingularum quantitatum, fcribendo ea incrementa, qua? his quan¬ titatibus funt adfcripta.
C O R O L L. 1 1 I.
4. Si igitur habeatur haec fundio y V( 1 +//) 5 cujus incre¬ mentum , quod ex tranfiatione pun&i n in v oritur fit determi¬ nandum $ ea fundio primum differentietur i unde prodibit dy'\J{\
+ /’/)+ VO + ’ h*C^Ue *oco dy’ & dp fcribantur incre¬
menta quantitatibus y & p convenientia, nempe -f- nv & + — ;
dx
eritque fundionis propollue incrementum = + nv* \/ ( 1 4-//)
4. y?- n v ^ vu +ppy
Coro l l. IV.
5 . Expedite igitur per d!fferentiationemrfun<flionis cujufcunque. incrementum , quod ex incremepto n v applicata y oritur , af- fignari potefi ; id quod ex infpe&ione figura?, difficulter & mini¬ me generaliter fieri poteft.
E
Euleri de Max. & Mm .
$ QUO,
V
34 METHODO MAX. ET M 1 N.
)
S C H 0 L I 0 N.
6. Probe notandum eft hunc modum incrementa functionum feu quantitatum ex .v, qs &c. harumque derivatis 7', y\ P' ’P ” 5 &c. datarum incrementa inveniendi , tantum ad fundi oncs determinatas patere 3 minime vero ad indeterminatas extendi pof- |5* Quod fi enim fundio propofita fuerit indeterminata , feu formula integralis indefinita, integrationem neque algcbraice ne¬ que tranfeendenter admittens, tum differentiatione nihil confe- quimur ad ejus incrementum inveniendum. In fequentibus au¬ tem, ubi ejufmodi maximi minimive formulas fZdx fumus con¬ templaturi , in quibus Z fit fundio talis indeterminata , in hu- julmodi fundionum incrementa fumus Inquifituri. Sin autem Z fuerit fundio determinata, propofiti Problematis folutio fuffice- re poteft ad folutiones Problematum huc pertinentium abfob* tendas»
Propositio 11, Problema.
Tig< 4o 7. Si fuerit Z functio determinata ipfarum x & y tantum , in¬ venire curvam a z, in qua vator formuU f Z d x fit maximus vel minimus,'
§ 0 L V T I a
H
Concipiatur abfciifa A Z , cui maximum minimum ve for mulse fZdx rcfpondere debet, divifa in innumerabilia elementa a?qua- lia, fingula per dx denotanda; pofitaque abfciifa indefinita AM =#, & applicata Mm =7, ex formula f Z dx elemento MN refpondebit Zdx\ atque fecundum receptum notandi modum , elemento fequenti NO refpondebit Z1 dx , & fequentibus ele¬ mentis OP, P Q^&c. refpondebunt valores Zr// dx , &c.
antecedentibus vero elementis LM,KL, IK , refpondebunt Zrdx ; Ztl d x ; Z/ndx , &c. Quare fi curva a 2 fit ea ipfa quse queritur 3 debebit eife Zdxfr Z dx -)rZ"dx-^ &c, una cum
1
AD CUR V A S INVENIENDAS AB SOL UT A. 35
Zjdx f- 2udx + Z/Jtdx -f- &c. maximum vel minimum. Quod fi igitur una applicata Nn=/ augeatur particula nv , illa ex^- preilio eundem valorem retinere , atque adeo valor differen- tialis formulas fZdx , feu fummas terminorum Zdx-\~Z' dx :-f* Z" dx + Z"dx -f- &c. una cum Ztdx- f- Z/y dx + Z/ndx + &ca evanefcere debet. Singulorum igitur horum terminorum valo« res differentia! es, qui oriuntur ex tranflatkme pun&i n in v , in« veftigari debebunt > eorumque aggregatum erit valor differen- tialis fbrmu! x fZdx rcfpondens, qui pofitus =0 aquationem pro curva quasfita praebebit, Quoniam autem Z ponitur func¬ tio determinata ipfarum x & y > habebit ipfius differentiale d Z hujufmodi formam Mdx -+• Ndy ; ita. ut fit dZ = Mdx -f- Ndy. Va lorum igitur derivatorum ipfius Z differentialia ita fe habebunt.
dZ’ —Mrdx + N'dyf
dz,f ^ M"dx + xf/dy"
&c.
Cum nunc valores differentiales terminorum Zdx , Z'dx^ZQdx% &c. itemque ipforum Z,dx , Z„dx^ &c, inveniantur, fi hi ter¬ mini differentientur, atque loco dy! in differentialibus fcribatur rs v , loco omnium reliquorum differentialium vero o i manifef- tum eft folum terminum 7! d x habiturum efie valorem diffe- rentialem, quoniam in ejus folius differentiali occurrit^'. Scrip¬ to itaque m loco dy' , erit termini Z'dx valor differentialis - — N'dx. nv, qui fimul erit valor differentialis totius formula f Z dx ; quia reliqui termini prater ' Z'dx nullam variationem patiuntur. Loco1^' autem ponere poterimus N , quia eft Nl = N+dN, & dN prae N evanclcit. Pro curva igitur qus- fita , in qua fit fZdx maximum vel minimum, iffa habetur aequatio N dx. = o feu N= o j exiffente dZ = Md$
+ Ndy, £L E . I
E z C o-
d Zs == M/ dx + N{dyt d ZM ^ Mu d x -f- N# dyu &C.
3*
IDE jfeETHO&O M A X* Et MIN*
C 0 R O L L. I.
g. Si igitur 'curva debeat definiri, in qua fit fZdx maxi¬ mum vel minimum , atque Z fit fun<5Uo determinata ipfarum x & y tantum ; tum quantitatem Z differentiati oportet ; quod cum habiturum fit hujusmodi formam dz=i Mdx -{-Ndy , hine formabitur aequatio pro curva quaefita , quae erit # = o.
C O R O L I. II.
p. Cum ergo N fit fiin&io ipfarum y determinata, in aquatione pro curva N— o nulla inerit| quantitas conflans , quas non fuit in formula maximi minimive fZdx ; & hanc ob rem curva inventa erit unica & perfe&e determinata.
C O R O L L. III.
10. In quaeftionibus igitur fu b hoc Problemate comprehen- lis , curva fatisfaciens ex fola maximi minimive formula determi¬ natur; neque licebit infuper punda aliqua prasfcribere, per quas curva quaefita tranfeat.
C O R 6 Lt IV.
11. Quod fi Z fuerit fun&io tantum ipfius v, ita ut ^ non in¬ volvat; erit tum \fz dx fun<ftio determinata pariter ipfius v tantum; eique adeo omnes curva? eidem abfcififae refpondentes aeque fa- tisfacient. Idem vero hoc monftrat calculus ; hoc enim cafu , quo in Z non inefQ, fiet^=o; ideoque nulla prodit aequa¬ tio pro curva quaefita.
C O R O L L. V.
12. Statim etiam intelligi poteft, utrum detur linea curva ; in qua hujufmodi formula fZ dx fit maximum vel minimum. Si enim ex differentiatione ipfius Z ^ejufmodi valor pro N reperia-
tur ,
\
JD CURVAS INVENIENDAS aBS-OLXJTa.
tur, ut per asquationem «• o nulla curva exprimatur tum etiam nulla curva extat in qua propofita formula f zdx fit ma¬ ximum vel minimum»
COROLL. VL
13. Denique etiam perfpicitur, hanc maximi minimive pro* priecatem non uni alicui determinata’ abfcifias efie adftridam, fed fi curva pro una abfcifia reddat formulam fZdx maximum vel minimum , eandem pro quacunque alia abfcifia , pariter ma¬ ximum minimumve valorem efie habiturum.
$ C B 0 L I 0 N L
14. Nadi ergo fumus methodum facilem, inter omnes curvas eidem abfcifias refpondentes, eam determinandi , in qua confii- tuat formula fZdx valorem maximum vel minimum, fiquidem Z eft fundio determinata ipfarum Ar & y tantum. Simul vero etiam patet curvam fatisfacientem femper fore algebraicam , fi¬ quidem Z fuerit fundio algebraica ipfarum x y. Curv^ igi¬ tur hoc modo inventas ifta erit proprietas , ut fi ad eandem abf- cifiam alia quacunque conftituatur linea curva , tum pro ea va- lor formulas fZdx certo vel minor vel major fit proditurus quam pro inventa i prout in inventa formula fZ d x vel fuerit maxi¬ ma vel minima. Cum autem adhuc dubium fit utrum in cur¬ va inventa valor formulas fZdx futurus fit maximus an mini¬ mus ; de eo in quovis cafu particulari facile fiet dijudicatio ; in genere autem nihil omnino decidi poteft. Jnterim hoc certum eft, fi unica prodit asquatio, tum tantum vel maximum vel mi¬ mum locum habere pofte; hoc eft, fi curva inventa fit pro ma¬ ximo; tum minimum non dari, fed valorem formulas fZdx in infinitum diminui pofie. Pari modo , fi unica inventa fuerit curva , in eaque formula fZ dx fit minima , tum valorem fZ d x in infinitum augeri pofie. Quod fi autem folutio nullam prorfus prasbeat curvam fatisfacientem , id indicio erit valorem formulas
£ 3 fZ dx
38 DE METHODO M A X ET M 1 N.
J x d x pro quacunque ab. (eida tam in infinitum ereicere quam decrefcere polle.
$ C H 0 L I 0 N IL
15. Ex eadem etiam fblutione reperiri poterunt Illae curvae maximi minimive proprietate praedita? alterius generis fupra me- morata, ad quas non pervenitur per valores differentiales eva= nefeentes , fed infinite magnos ; quod maximorum & minimo¬ rum genus ab illo maxime diferepat. Reperientur autem iffs curvs, fi valor differentialis Ndx. nv non nihilo, fed infinito aqualis ponatur. Quoties igitur hsc aequatio 2V = 00 lineam aliquam curvam fuggerit $ tum in ea pariter formula J Z d x maximum vel minimum obtinebit valorem : Hoc fcilicet eveniet, quando pro N prodit fradio , cujus denominator nihilo squalis pofitus * prsbet aequationem pro aliqua linea curva. Hoc iraque pado plures curvae reperiri poffunt, qus eidem qusftioni fatisfaciant, quarum alis maxima continebunr , alis minima. Fieri etiam po- teft, ut plures quam dus curvs Problemati fatisfacientes reperian- tur , etiamfi bins tantum oriri queant aequationes, fcilicet N — ■ o ScN— 00. Si enim Afuerit quantitas ex fadoribus compofira; tum quilibet fador, vel nihilo vel infinito squalis pofitus , dabit aequationem pro curva farisfaciente; conflat enim fspenumero plura maxima pluraque minima locum habere pofTe. Hsc autem omnia clarius enodabuntur in fequentibus Exemplis in hoc Problemate contentis.
Exemplum I.
1 6. Invenire curvam , qua , inter omnes omniuo curvas eidem abf* cijfa refpondentes , habeat i X Y d x maximum vel minimum ; deno* tante X funciionem ipfius y, d" Y ipfius y tantum ,
In hoc igitur cafu fiet Z— XT} ideoque dz = TdX + XdT Mdx + Ndy, ErkQY2oAd==^~-^3cN===z^-^ $
■ * f‘ ■ dx dj
8c
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA.
ob X ipfius x & T ipfius y fundioncm. Pro curva igitur
quaefita erit N^=. ~ ^ = o : quoniam autem Y eft fundio
Ipfius y 3 ponatur dT = e dy; erit © pariter fundio ipfius y; ideoque pro curva qutefita , fi qua? fatisfacit , habetur haec aquatio X &== 0 , ideoque vel X = o , vel @ = o ; qua¬ rum cum neutra lineam curvam praebeat , apparet huic quaeftio- ni nullam omnino curvam fatisfacere, fed valorem prqpofitum /XTdx in infinitum cum augeri tum diminui polle. Ex aequa¬ tione autem © = o , quia © eft fundio ipfius 7, fequitury = Conft. quae aequatio praebet lineam redam parallelam abfciflae AZ, cujus diftantfa tanta eft, ut fiat fundio Y maxima vel minima . Patet enim , fi quantitas 3" maximum minimum ve va¬ lorem admittat, tum etiam formulam [XYdx fieri maximum vel minimum. Altera autem aequatio X=o, quia praebet #== Confi. nequidem lineam redam quaeftioni fatisfacientem exhibet; quia praebet lineam redam normalem ad abfciflam , quae propterea fion datae abfcife cuipiam, fed tantum ejus uni pundo refpondebiL
i
E x £ m r l u u IL
17. Invenire curvam , qua , inter omnes eidem abfciffa re [pan¬ dentes curvas , habeat valorem fer mu U i ( a x - y y ) y d x maxi¬
mum vel minimum .
Si haec formula cum generali /z d x comparetur , fiet Zu=.axy - — / , ideoque dZ = aydx 4- (ax — 3yy)dy$ ita ut fiat M~=ay lkN=^ax — %yy ; unde pro curva quadita habebi¬ tur ifta aequatio a x — 3 yy — o , feu yy = i- a x , quae eft pro Parabola verticem in A, axem AZ. & parametrum habente. In hac igitur Parabola erit valor formulae f(ax — - yy )ydx maximus vel minimus. Utrum autem fit maximus an minimus , rep£rietur , fi aliam quamcunque lineam loco Parabo- lce fubftituamus . atque inquiramus utrum pro ea valor formulae propoiitae major fit an minor quam pro Parabola.' Sumamus
40 DE METHODO MA& ET M1N .
igitur lineam redam cum ipfo axe congruentem , pro qua erit y = o. Pro hac itaque valor formula f\ax — yy )y dx het pa¬ riter = o, pro Parabola autem idem valor erit affirmativus , idcoque >oi ex quo fequitur in Parabola formula; propofita; valorem non effe minimum , fed maximum. Poterimus autem algebraice indicare quantus ftfturus lit valor formula; propofita; pro Parabola : cum enim fit yy = j ax , abibit formula propofi¬ ta in hanc fi^axdx <J\ax = faxx ax. Quod fi autem ponamus aliam aequationem , puta y = nx\ abibit formula propofita in hanc fdx ( naxx — n3x3 nax3 — 4 nlx+,
qute femper eft minor quam valor formulae qui pro Parabola inventa prodiit : id quod quilibet facile , fubfiituendis loco* definitis valoribus , experietur.
Exemplum 11 1.
18. Invenire curvam •> in qua fit , inter omnes omnino curvas ad eandem abfciffam relatas , valor hujus formula f(i £a2x2y — 1 $a3xy 4- 5a2y3 — 3ys J dx maximus vel minimus.
Erit igitur Z = 1 5 a2xzy — • 15 aJ xy 4- 5 aly% 3q5 , qui fi
differentietur 5 pofito x conflante, prodibit N dy~=i $a2x2 dy - 1 $a3xdy -b 1 ya2yz dy — iyy*dy; hincque N=iy(a2xz
— a 3 x 4- azyz — y *) j qui valor , politus = o , dabit aequatio¬ nem pro curva quxfita : erit itaque — a% x azyz — y 4
— o = (ax — yy ) (ax 4- yy — aaj. Ob binos hos fadtores,
prodeunt bina; curva; fatisfacientes , quarum altera exprimetur hac aequatione yy-= a x , altera hac yy =aa — ax ; utraque pro Parabola. Ut nunc appareat utra fit pro maximo vel mini¬ mo , ponamus ahfcifiam effe minimam, ac prior aequatio yy = ax in formula fubfiituta dab t f — 10 aixdx\l ax. Aitera \ero for¬ mula yy = aa — ax., feu y =^ a> fubfiituta dabit f ias dx. Quod fi autem ipfi y alius quicunque valor tribuatur , puta y = o ; tum formula propofita abit in fo dx =0. Ex quo patet cur¬ varum inventarum alteram yy = aa — ^.vefiepro maximo, ab teram autem yy = ax pro minimo , fcilicet pro maximo nega¬ tivo.
AB CURVAS INVENIENDAS A E SOLUTA. 41
tivo. Facillime autem perpetuo hxc dijudicatio , utrum maxi¬ mum an minimum in curva inventa locum habeat, inflituetur , fi abfciffa x ponatur infinite parva ; tum enim integratione .non erit opus, fed ipfa formula Zdx monftrabit valorem formuke fZdx hoc cafuB
%
Exemplum IV.
i 9. Inter omnes curvas eidem abfciffa refpondentes , definire eam
in qua fit formula f ( 3 a x * — 3X x - y y ) ( a X x x - i x y
+ yy) dx valor maximus vel minimus ,
Ex hac igitur formula prodibit fequens ipfius Z valor evo« lutus ;
+ 3 azxz — 4 ax%y + 2 a xyy -f- ± xy3 - 'y4
_Z = — 6ax3 -J- 4 x3y — zxxyy
+ 3X 4
qua? differentiata , pofito x conflante, acdivifa per dy , fequen« tem praebebit valorem pro N:
N = — 4 aXx -f- 4 axy -f- 4 xyy — qy3 + 4X3 — 4 xxy
qua? expreflio, nihilo aqualis polita, dabit aequationem pro curva quaefita. Erit itaque
y3 — xyy -f- xxy axx = q - — axy — • x3
qiise duos habet fa&ores , qui totidem praebent aequationes.,’ hafce
I. y — x =s o , pro linea refta II. yy — ax -}-xx=:q 5 pro circulo.
Ponatur x infinite parva , eritque ex aquatione y = x , valor ipfius Z = $azxz 5 at cx aquatione yy = ax — x* , feu y = V** 3 erit Z = qaaxx. Quod fi autem ponatur y = pro¬ dit z == — unde apparet utramque lineam inventam effe pro maximo.
Euleri de Maxt & Min. F
SCHQ -
4*
DE METHODO M A X. ET M I M
S C H Q L I 0 N
20. Problemata etiam refolvi poflfunt per Methodum maxi¬ morum & minimorum vulgarem. Quando enim curva queri¬ tur pro qua valor ipfius fzdx fit maximus vel minimus^ id- que pro qualibet abfciffi ; manifefium eft fiquidem z fit fundi© determinata ipfarum x & y, formulam fZdx maximum mini- mumve efle non poffe, nifi elementum ejus Zdx ac proinde iplum Z tale fit. Quamobrem queflioni iatisfiet, fi quantitas Z dliferentietur pofito x conflante, ejufque differentiale pona¬ tur = o. Tum enim perpetuo ^ habebit valorem maximum vel minimum, ac proinde etiam Zdx & ipfa formula fzdx. Quod fi autem fu n dio z difterentietur , pofito # conflante , pro¬ dibit Ndy, quoniam generaliter differentiando pofuimus dz = Mdx-\r Ndy ; fatisfietque ponendo N— o: que eft eadem folutio, quam per Methodum traditam invenimus. Quamvis autem hinc videantur ifla? queftiones fimili modo refolvi pofife, quo in Methodo maximorum & minimorum vulgari ; tamen hoc tantum evenit , fi Z fuerit fundio ipfarum x 8c y tantum ; nam¬ que fi in z preterea infint quantitates ex differentialibus orte p, y, r> &c: tum vulgaris Methodus nullius amplius ufus effe poteft. Etfi enim tum differentietur fundio Z pofito x conf¬ lante» tamen in differentiale etiam ingrederentur diflerentialia dpt dq^dry &c. quorum relatio ad dy cum non conflet, equatio inde ad maximum minimumve determinandum apta de¬ duci non poterit. His igitur cafibus utilitas & necefiitas nof- tre Methodi maxime cernetur.
Propositio III. Problema.
!%. 4. 2J' $ ^ fuerit ipfarum x, y, & p determinata , ita ut
fit dZ — Mdx + Ndy -j- Pdp i invenire , inter omnes curvas eidem akfcijja refpondentes , eam m yua fit f Z d x maximum vel minimum .
SOLUTIO
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA, 41
SOLUTIO.
Sit amz curva qua?fito fatisfaciens , atque concipiatur applica¬ ta quacunque Nn =y7 augeri particula nj/, debebit valor dif¬ ferentialis formula? /2 dx , feu quantitatis huic sequivalentis , pu¬ ta Z dx -j~ Z 'dx q- Zl' dx + zl" dx-{~ &c. una cum Z,dx -h Zt)dx + z//t d x + &c. eife — o. Totius igitur quantitatis fz dx valor differentialis ex translatione pundi n in v habebitur, fi fingulorum illorum terminorum, qui quidem hac translatio¬ ne afficiuntur , valores differentiales querantur & in unam fum-> mam addantur. Ex translatione autem pundi n in illi tantum termini mutationem fubeunt, in quibus infunt quantitates y\ p Se p' i ideoque tantum termini Zdx Sc Zr dx ; nam uti Z eft fundio ipfarum y Sc p pra?ter x; ita Z^fimilis eft fundio ipfarum y 1 Se p’ . Quamobrem hi termini debebunt differentiari , atque in eorum differentialibus loco dy\ dp , & dp ' fcribi oportet
valores fupra indicatos -f- n v j 4- & — jjjj* Sicut autem eft
dZ = Mdx + Ndy + F dp> ita erit dZ! = M'dx ArEf'dy’ +
Z erit P, njx > &
Ipfius z’ erit N. nv — Pf. ~ ; ex quo utriufque termini Zdx
*" ci oc
-f- Z1 dx , ideoque integra? formula? fZdx valor differentialis erit —nv.(P + N'dx — /*'). At e fi P! — p~dP ^ & loco N’ fcribi poteft N; unde valor differentialis erit = nv. ( Ndx ■ — -dp'), Quare cum fonnulxjVZdx valor differentialis nihilo aequalis fadus praebeat aequationem pro curva qusefita , ha?c erit
d P
o = Ndx — dP> vel N— — o, qua aquatione natura curvae quaefita? exprimetur. Q ^ E. 1,
C O R O L L. L
2 2. Quod fi ergo fuerit Z fundio quacunque ipfarum # item- que earum differentialium dxSc dy,k u loco horum differentialium,
F 2 e ipfius
F' dp'. Hinc itaque valor differentialis ipfius
44' METHODO MAX. ET M1H.
ipfius py exiftente dy=^pdx$ differentlale ipfius Z hujufmodi habebit formam, ut fit dZ=:Mdx Ndy + Pdp. Atque hinc reperietur curva, in qua fit fzdx maximum vel mini¬ mum ^ formando, hanc aequationem#- — -~=0 feu Ndx —
& X
dP .
C O R O L L. I L
*3. AEquatio hxc igitur femper erit differentialis fecundi gra¬ dus 5 nifi in P plane non infifc/. Nam fi p continetur in P ,
tum in dP inerit dp i quod ob p — ^ gradus involvet.
dx
difierentialia fecundi
C O R o L E. III.
24. Quando ergo in differentiali ipfius dZ r=r M dx + Ndy 4-- Pdp quantitas P adhuc in fe complebitur p ; tum, ob aqua¬ tionem pro curva qiucfita differentialem fecundi gradus , dme liovse conflantes arbitraria? per integrationem ingredientur. Ex quo ad harum conflantium determinationem , duo curva? punba pradcribi poterunt ; alias enim non una fed innumerabiles curv« aperirentur*
t 1
C O R O L L. IV. \
25. Ut itaque hujufmodi Problemata determinate proponan¬ tur 3 ita funt enuncianda , ut per data duo punba curva duci debeat 3 qu se, inter omnes alias curvas per eadem punba dubas, pro eadem abfciffa x valorem fz dx maximum minimumve com¬ plebatur.
C O R O L L. V.
i
26 . In P autem quantitas p non inerit, fi Z fuerit funbio ip- farum x & j tantum, per p vel per n+p> denotante n nume¬ rum
AD CURVAS INVENI E ND AS ABSOLUTA* 4J
rum conflantem , multiplicata. Sit enim V fundio ipfarum x & y tantum ; ita ut fit dV ===== Mdx+ Ndy; atque Z = FO 4-/> ) * erit ^ Z = ( n -f- /> ) Afer + (*+■/) JKfy + Hinc-
que aquatio pro eurva qusefita erit o- = (#+/) ^ feu f » -j -p ) Jfdx'-== dIZ= Mdx + Ndy.
G O R O L L. VI
27. His igitur cafibus, quibus efl Z — }5 exifteti-
te P" fundione ipfarum at & 7 tantum , non pervenitur ad aqua¬ tionem differentialem fecundi gradus : quia dp in ea prorfusnon ineft. Verum nequidem ad differentialem aquationem primi gradus pervenitur 5- fed adeo ad algebraicam. * Nam cum fit fdx == dy , erit ( n -j- p ) Nd x = nNdx -f- Ndy ; quod ipfi Mdx + Ndy aquale pofitum , dabit aequationem per dx divilibilem , adeoque algebraicam, hanc nN—M> fiquidem V fuerit func¬ tio algebraica.
€ o R o l l. V I f.
28. Quoties autem hoc evenit, maximi minimi ve formula, qua: efl fZdx , erit talis forma:, f(Vndx-\~Vdyy} vel pofito n == o 3 talis fV dy. Hujufinodi igitur maximi minimive for- mulae pariter ad aequationem determinatam pro curva qusefita de¬ ducunt , ita ut non liceat unum plurave punda prsefcribere , per qua: curva tranfire debeat.
G O R O L L. VIII.
2p. Pofita igitur V fundione ipfarum x 3c y 3 ifta maximi minimive formula fV dy pari modo tradatur 3 quo fVdx. Nam, pofito dV = M d x 4- Ndy > formulas fV dx refpon- det aequatio pro curva haec N=o, ita alteri formulae;; fV dy refpondet aequatio M=o. Ex quo perfpicuum efl coordina- tas x & y inter fe commutari poffe.
P 3
sciro.
DE MET HO D O MAX, ET M I N.
S C H 0 L I 0 H I.
L
30. Apparet itaque in folutione hujufmodi Problematum , quibus queritur .curva valorem formulae fZdx maximum mini- mumve habens, exiftente Z funCtione ipfarum x* y, & / , per¬ veniri ad aequationem difterentialem fecundi gradus , niii in Z quantitas p unicam tantum habeat dimenlionem. Saepe nume¬ ro autem ifta aquatio difterentialis fecundi gradus integrationem admittit , de quo in lingulis cafibus erit videndum. Interim hic annotafte juvabit, generaliter integrationem fuccedere , fi in funCtione Z omnino non iniit at, hoc eft, fi in ejus differen- tiali dZ-~Mdx + N dy -i- P dp valor M evanefcat , ita ut fit tantum dz = }? dy -\-P dp. Cum enim pro curva inventa
fit haec aequatio N
dP
d x
multiplicetur ea per dy ,
&
quia eft dy =^pd x , ea abibit in hanc N dy — pdP = o, cui aequivalet ifta Ndy-P P dp = P dp -±pdP=;dZ 5 cujus integrale eft Z-{-C^=Pp^ qua? aequatio jam tantum eft difte¬ rentialis primi gradus. Quoties ergo inter omnes curvas ei¬ dem abfciffae refpondentes ea quaeritur, in qua fit valor formu- lie fZdx maximus vel minimus , atque Z tantum fit fun&io ip¬ farum y & /> , ita ut fit dZ = N dy -i-P dp> tum , pro curva fa- tisfaciente, ftatim exhiberi poterit aequatio difterentialis primi gradus ifta Z 4- C= P p. Deinde vero etiam, fi Z fuerit func¬ tio ipfarum x & p tantum, atque dZ -=Md x-pP dp , evanef- cente termino N dy , tum pro curva prodibit squatio difteren¬ tialis primi gradus. Nam, ob dP = 0, erit P=^=C, quae pro curva quaefita dabit tequationem difterentialem primi gradus tan¬ tum. Quod fi autem infuper M evanefcat, feu Z funCtio fit iphus p tantum, & dZ = P dp \ aequatio inventa P = C tranf- mutabitur in iftam Pdp= Cdp = dZ , quse denuo integrata dat Z A- D = Cp . Hoc autem cafu , quia Z & P funt functio¬ nes ipfius p tantum, utraque aequatio P •= C & Z -\-D ~~Cp, praebebit pro p valorem conftantem ; ideoque aequationem hu¬ jus formae dy = ndx 3 quae indicat hujufmodi Problematis fatisfa-
cere
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLVE A. 47
cere lineas redas, & quidem quafcunque utlibet dudas. Nam In aequatione P — C , eum C fit conflans arbitraria , valor ipfius f non folum conflans , fed etiam arbitrarius evadet > ex quo linea reda qusecunque -refultabit. Quamobrem fi per data duo punda curva duci debeat, in qua fit fZ d x maximum vel minimum , ac z fit fimdio ipfius p tantum , tum fatisfaciet linea reda per illa data duo punda duda.
S c H 0 L I 0 N 11
3 r. Quoniam fupra jam vidimus in hujufmodi Problema» tis coordinatas x <k y Inter fe commutari , atque, fi commodum videatur, applicatam y tanquam abfciffam tradari poffe, idem hoc quoque cafii confirmari juvabit. Sit igitur curva invefti- ganda In qua fit fzdy^ maximum vel minimum , exifiente Z fundione ipfarum x^y&p, & d Z = M d x + N d y 4- P dp. Ha?c autem formula fZdy ad noflram formam reduda abit in fZpdx : In qua Qx\td.Zp-=Nfpdx-pNpdy-\~QZ-\~Pp}dp: ex qua formula? propofita? valor differentialis refpondens erit
{N p dx - dZ - P dp — p dP ) nv ==■ ( - Ni dx - 2 P dp
• — p dP') n v : & aquatio pro curva quaefita erit o = — - M dx — 2 P dp — pdP; feu 0 = — Ni dy — d.Pp% . Quod fi nunc ad fimilitudinem offendendam, quia hic y tanquam abfcif*
fam confideramus, ponamus dx = n dy , erit p=^~&dp =■
d 71
T 7T
pp dwy eri-t dZ = Ni d x -pH/ d y Pppdn
Mdx-pNdy -f-n d7r , ponendo n
Ppp i ut fimilitudo
terminorum confervetur. Quapropter Jequatio pro curva erit o — Mdy-pdn ; qua? eadem aequatio prodiifiet, fi in for» mula /Zdy ., applicata j in abfciffam & viciflim abfcifla in appli¬ catam tranfmutetur. Propofita igitur quacunque formula indeter¬ minata ex x & f horamque differentialibus compofita, qua? de¬ beat effe maxima vel minima > coordinatarum x Sc y utramlibet licebit tanquam abfciffam tradare , ad eamque maximum rninb rnurnve accommodare.
Exem-
4-8
DE METHODO M A X. ET M 1 N. Exemplum I.
3 2. Inter omnes curvas ad eandem ab jc i fiam relatas , determi¬
nare , in qua fit f( Zdx -f- f Z ] dy ) maximum vel minimum j tentibus Z.dr [ Z ] funttiombus quibufcunque ipfarum x dr y a ita ut ftt dZ = Mdx ff-Ndy & d[Z] = [M]dx + [N]dy.
Ut formula ha ec/*( Zdx + [z]dy') ad formam receptam redu- • catur , ponatur pdx loco dy ; habebiturque h#c formula J\ Z -f- [z]p) dx maxima minimave efficienda. Differentietur ergo ■valor Z ~h[Z]p; eritque ejus differentiate = -f- Mdx+Ndy “h [M]pdx + [N]pdy + [Z]dp.
Jam per regulam inventam , hinc pro curva quasfita Ifta pro¬ dibit aequatio, o = (AT-f- fjv] p) dx — d[Z] = ( N 4- [A7] p) dx — [ Af j d x — [at] dy : quae , ob [H~\pdx ~ [M] dy , per dx divifa dabit hanc aquationem pro curva quasfita algebraicam feu fi¬ nitam N — [M_ | == o. feu N = Hinc intelligitur fi formu¬ la propofita fl Z dx 4- [z] dy) fuerit determinata, feu differentia-, le Zdx 4- [Z] 4 ha comparatum, ut integrationem admittat i tum nullam lineam quas lito effe fatisfaduram, feu potius omnes li¬ neas asque fatisfacere. Nam fi Zdx-\~ [z] dy integrationem ad¬ mittit , per fe erit uti alibi de formulis differentiali-
bus duarum variabilium determinatis dcmonftravimus i ideoque his cafibus prodit asquatio identica o = o. Hincque luculen¬ ter intelligitur, quod jam ante notavimus, maximi minimive for¬ mulam oportere effe formulam indeterminatam ; alioquin enim omnes lineas, curvas asque fatisfacerent.
Exemplum II.
3 3 . Inter omnes lineas ad eandem abfcififiam relatas , determinare eam , cujus longitudo fin minima i feu in qua fit fdxy/ ( 1 ff- p p|) minimum.
Primum quidem apparet in hac quasftiane maximum non da-
AD CURVAS INVENIENDAS AR SOLUTA.
4 9
n , cum linearum longitudo in infinitum augeri queat , manente abfciffa eadem. Ita minimum tantum habebit locum , id quod ex ipfa Geometria dementari conflat, in qua demonflratur li¬ neam redam inter omnes alias lineas intra eofdem terminos fi- tas eiTe breviffimam. Hoc igitur Exemplum ideo attuliffe vifum eft, cum ut confenfus noflne Methodi cum veritate aliunde jam cognita inteliigatur , tum etiam ut circumflantia de duobus pundis arbitrariis , quse ad hujus generis quadliones addi debet, melius percipiatur. Erit igitur, formula fidx */( i +//>) cum
generali fiZ d x comparata , Z = fi ( i , & dz- — p(lp
unde fit M— o, N~ o, & P — — .
V(i + pp)
genere aquatio pro linea quasfita fit N - — —
dx
Va-Ppp) * Quare, cum in
- o , habebi-
ax
mus hoc cafu dP — oi ideoque P = x — Conti. ex
Vy + pp ) J
qua aquatione oritur p = Conft. —.n, feu dy — ndx , quae denuo integrata dat y — a + nx. Non folum ergo patet lineam qua: litam effe redam , fed etiam , ob duas arbitrarias conflan¬ tes a & n , redam utcunque dudam. Quare fi per data duo punda linea duci jubeatur breviffima , erit illa reda. Similiter autem intell igitur , fi linea debeat inveniri, in qua fofiZdx, ubi Z eft fundio ipfius p tantum , maximum vel minimum , tum lineam redam tantum fatisfacere ; uti ante jam notavimus*
Exemplum II L
34. Inter omnes curvas ad eandem abfcijfiam relatas , determina*
re eam s in qua fit f — — . r p p ) maxirnum minimum.
yx
Hxc formula oritur , fi queratur linea celerrimi defcenfus , in hypothefi gravitatis uniformis, ponendo axem in quo abfeit
fie capiuntur verticalem. Erit igitur Z — & 4 z
y x
Euleri de Mate. & Mia. G — -
G
5 o
DE METHODO M A X. ET M I N.
t _ t dp _ . t r */
2x\/x \/x(l+pp) 3 Unde
N = o , & F =
■ — ^ + pp)
2X\ X 9
. Cum jam curva quaefita expri-
V*(j -f -pp )
matur aquatione# — ^ = o ; erit dP = o, & P ( = ~ CettJl' ~ tjt ; redu6ta Prabet ^2;=*
+/*Ar, 8c/>==i?= V~x , feu y = fdx V~x , qu*
aquatio indicat, curvam quaefitam effe Cvcloidem fuper bafr horizontali natam , & cufpidem in fuprema axis regione haben¬ tem : quae adeo per data duo quaecunque punda duci poterit.
Exemplum IV.
Inter omnes curvas eidem abfeifa rejpondentes , eam deter¬ minare m qua fit fy dxv/(l4-,pp} maximum vel minimum.
Pro hac ergo formula propofita erit •Z=y-v/(i+/’/’)&
dZ
ny
n
1 dy\/Qi +//)■+■ -rfrlsL^ > ira ut M=o>
\ “TT PP ) n
y p
ny n atque P
&
. . yo -t- pp)
Quoniam igitur eft M = o ; ftatim pro curva quaefita habe¬ bitur ifta aquatio femei jam integrata Z -j~C=jP/> (30), quae
noftro cafu fit yn /( 1 -\~pp ) -J- m a1
n
y pp
Quod fi
y(i -bppy
ponatur conflans a = o , prodibit 1 -{-pp = pp , feu p = 00 s fatisfacietque linea reda normalis ad axem. Generarim vero
lineae fatisfacientes reperientur ex aequatione 5 quae abit in y
4- rnan +//) =Oj feu y
2 n
m
za 2w-f- m^a^p*;, qua; dat
2 n
H
djf v dx
m
m .
V (y '*-~mxa )
m a* dy
m a
n
X :
=/-
VO
2«
2 2?Z . U )
quas
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA . Jt
quc€ linea per data duo punda duci poteft. Si fuerit n ~ — ■ ~ 3 ita ut f M ^ debeat elfe maximum vel minimum;
pariter prodire debet linea brachyftochrona ad axem horizon-
r r •
talem relata; eritque pro ea x~fdy y/ — L__ • qUa> cum
procedente omnino congruit , dummodo coordinato x Sc y in¬ ter fe commutentur. Erit fcilicet 5 ut ante, curva fatisfaciens Cy- clois fuper bafl horizontali rotando generata , qualem per data duo quocunque punda ducere licet. "
E x E h p x u
M
V.
nare
$6. Inter omnes curvas eidem abfcijfd rcfpondentes eam determi-
maximum vel minimum
/> fydy3
Formula hoc ad formam confuetam , ope fubftitutionis dy — pdxy
reduaa.abitinhan cfy-L~ -, eaque reperiri lolet, fi quxratur
folidum rotundum rotatione curvo circa axem ortum, quod fe¬ cundum axis diredionem in fluido motum minimam patiatur refiftentiam : refiftentia namque hoc cafu proportionalis* cenfe-
tu, formu te/j-Sgp kvfXL jf- Erit ergo z = ngj
* '*= £& + i» ut fiat M=o, *
~ T+Jp & ^ — Ti+WF"' cum igitur fit M~ o , una integratio generaliter fuccedit , eritque oquatio pro curva qnsfita Z +C — pp, + , = £l(l+rp\ qua, abit
in hanc a( i +/>/> )* ==zp3 j. Hujus oquationis autem evo¬ lutio non ita poteft inftitui ut eliminetur p ; quare conveniet u~ trSmque coordinatam y & x* per eandem variabilem p definiri.
Ac primo quidem eft y .= <L ±ILl, Deinde, ob dy =p d-n
^ -i
G 2 erit
•JS
Z> E METHODO M A X. ET M J N.
erit dx — il & *= f~ = j +fyjj- Qiiod fi ergo
_ “(l +PPJ*
loco y valor inventus fubftituatur , prodibit x -
+ + -h +■+/»•
2 ijT
ex qui¬ bus curva? conftrudio poterit confici, logarithunis in fubfo dium vocandis»
Exemplum VI.
37* Invenire curvam , in qua ifta formula / y x dx f (i -f- pp) (it maximum minimumve .
^ i
Erit ergo z -=yx\/ ( i ), atque dZ-r=^ydx\/ (i-b//') Hh {i+pp) + r/-X^, Hanc ob rem habebitur A/=
N—x & P'— fxl — _ ; unde
aquatio pro curva formabitur h<xc Ndx = dP , quee fuggerit
p* xdx-\-ypdx A yxdp
x dx f ( r 4-/7O
AT a?AT -
_ yxdp
i 4-/?/?
V ( 1 +pp )■
( i + 5
feu
, ob ^7 =.pdx. Ha’C eft aequatio de¬
ferentialis fecundi gradus , & quanquam , ope idonearum fohfti- tutionum, ea ad formam /impliciter differentialem reduci poteft, eo quod variabiles *•& y ubique eundem d'men/ionum numerum con- ftituunt;tamen aequatio ifta di/fer entialis itaeft comparata. ut neque integrari neque feparari poftit; deduci feilicetpoteftad a?quarionem
hujus formet ~r “E ~r = ~ — . Quod cum ita fit,
neque aequatio inventa xdx — ydy ad formam vel
i -f- pp
flmpliorem vel commodiorem revocari poteft ; hineque nihil admodum de natura curvae inventa judicare licer. Interim ta» men illa aequatio potentia duas arbitrarias conftantes involvit* &x quo curva fatisfaciens per bina punfta data duci poteft.
Exem^
AD CURVAS INVENIENDA S ABSOLUTA . $$
Exemplum VJL
hivenire curvam , //? fit f(xx-J-yy Jndx\/ (i+PP) maximum vel minimum.
Cum hic fit Z = (xv-f-^)?2v/(i +/?/>)3 erit = zn(xx-\-yfi) ( dx+ydy) fi Q r +//) +
ergo N—mQ xx+yy )n 1 v/ (i +//) & F= bfiLfi^JZLJ. .. ex quo pro curva quaefita lfla habebitur aequatio
Z.n(xx yyfi
ydxsj(i+m~d
V ( 1 4-?Z)
2»(
XX^yyfi Ip(xdx-k-ydy) , r * 4-V ry
— v u+pp) + —u+jjy& ’ qu* pcr
Qcx -byy) divifa , ac per \l ( i 4-/>/0 multiplicata, abit in
2 nydx = 4- + , feu Iglzj»—
y 1 + pp xx +yy-
Zp
Hujus aequationis utrumque membrum integra- bile efi: per quadraturam circuli , fitque inregtaie m A tang.—
I ~h PP
A tang. / -f- A tang. k = A tang. -
• 1- '
tang il Atang- r^ir=r; critcil!e r funfllo algebralca ip-
? : unde fiet —
M. »
Ke
fius /s dummodo iit 2/2 numerus rationalis» Cum ergo fit at s= Tj, feu y = erit dj =/ dx^t^ — *?1
== 7V.v — j>T7 d x; ideoque ^ r~~ -p.
rdp
3C
unde prodit l x = l-
, fi ve *</F
Td p
pTT * i - p>
r' T d p *
t— P T’ . . ‘r—77 r— ?rUu*‘lu‘-
dem ad conftruendam curvam abunde fatisfitciunr. Verum ut ha¬ rum curvarum, qua' pro definitis exponentis *r vaioribus prodeunt, natura melius cognofiatur , Cafius nonnullos contemplabimur-
Sit n==i3 & 2 « 1 j erit A tang. — = A tang.
G , ’ WI
54
DE METHODO M A X. ET M 1 N.
x 4+/>
ideoque — ====-A- • y i —
kydx+ydyi qua: integrata probet at1 qua: eft aquatio pro Hyperbola a:quilatera.
II. Sit n ~
f ~ 2 kxy 4- Ci
i ) & 2 &--= 2 i erit z A tang. = A tang, r — l p s * iau5* y - = A tang. — — ; unde fit
A \r jyjy - — ■ xx c i — kp
2xy _ l^dx^dy r
' T7~~ U,’ (eu 2XJdx — ztxjdy — kyydx
4rrf: , feu A tang.
yy - XX dx - k^dy
' -kxxdx 'Jryydy — xxdyj qua? integrata dat y xt = k yz x — L kx*A if + C > five y1 4-3 ky1 x — 3 y xz — k x' =C.
III, Sit n = - , feu 2 n =3 ; erit 3 A tang. ~ = A tang.
of~x - X3
’ 3j>’K‘
A rans- !&—$, >■ hineque if xdx
3 x x" dx 4- k at3 dy=ky* dx-\-y* dy 3 kyxz dx — 3 yxzdyi
qua? integrata dat l yzxz — ky'x — _^v+ 4- kyx 3 _ >_/ =
C ^u f + 4*/* - 5/.** — 4^,v34-*+ = C. 4
Ex his jam cafibus colligi poterit a?quatio integralis pro valo- re quocunque ipfius n. Cum enim fit 2 n A tang. — = A tang.
2 — -^■Ca^~0fa" — a> y%n ~ V + &c.
2»(2» -r) 2»—art ■ 2n(2n-i)(2n- 2)(2n—3) 2^—4- 4. . o J 1. 2. * ^1. 2. 3. 4. y x &c*
— (i+ xs/ - I )2n - (y — x\/ - I ')2n ' fiet 4 dx + dy
(y 4-«y — i)2>V— i)2^ — -i 0+ * — 1 yn — (r — x\/ — ' 1 )
272
„ ln - ; qu* reduda prse-
(y + xv — r) V — i+(y — KV/ — 1) v/ — 1 r
bet kdx(y+x \/ ,) 2V — i+tdx(y _*/ — i ) 2V ,
+ kdy (y + x\J — 1 J2" • — k dy ( y — x\/ — z)2n
— dy (y+x V - I )2 V - x + dy(y - x\J - i)2'V - j
-r-dx (y +*y — I )2" +„& ( y — */ — i)2" cujus integrale
cft
AD CURVAS 2NVEN7E N DAS ABSOLUTA. 55
Cii k ( j\- X s/ - l)2n+ 1 k ( y : X V - I )2!7"^r r=rr -
^OW— i)2“ + I — D2^1
+ c, feu C == (y + a: v/ - xj2w + r - I 4~ I )
4“ ( j - — x \/ — 1 )2^x ( 1 — k s/ — - 1 ). At cft generaliter (y-t-x\/ — 1 )272+x 4, (j — x/ — i)2”^"1 —
2 (yy +x x^Zn~^ly"2 cof. 2^ A tang. atque ... . .
0>4-aV — — .x^/ - t)272^1 n(2^+0-’2
- — - — zt — ~ - — — — 2 (w+xx)
fin. 2*2 A tang. -—.Quibus valoribusfubftitutis, prodibit aequa¬ tio integralis ab imaginariis libera haec 2 k (yy -\~xx')^2n'J>rl^'2 iin. 2 n A tang. — = 2 (yy + xxf2n I'‘2 cof. 2/? A tang. —
+ C : vel , ob conflantes arbitrarias k & C, ifta C =
fin. A tang. — + h cof. m A
y
tang. — J 3 qu^ aquatio femper efl algebraica , dummodo fue¬ rit n numerus rationalis. Vel fi arcus quidam circularis arbi¬ trarius ponatur -=g , curva qua?fita hujufmodi aquatione C
~~ (yy-\~x*)^ fin (g-{~ 2 n A tang. ^-) exprimi
poteftj pofito radio circuli, quem hic contemplamur, sai,
S C H 0 L 1 0 N III.
39. Si ergo, inter omnes curvas eidem abfeiffa? refpondentes, ea debeat inveniri* in qua CitfZdx maximum vel minimum , exiflente Z fun&ione ipfarum *, y & j> , ita ut fit dZ — Mdx 4- Ndy -f- P dj> 5 pro curva quasfita ifia habebitur aquatio
N~
DE METHODO M A X. ET M IN.
Quoniam autem in Problemate praecedente
annotavimus, fi 2 tantum fuerit fun&io ipfarum x & y , tum Methodo vulgari folutionem abfolvi poffe : nam ut fZdx fie maximum minimumve, etiam 2^at, ac proinde 2 tale elfe opor¬ tet , refpedu ad x habito j & hanc ob rem differentiale ipfius ^2, fumto x conflante, nihilo aequale politum dabit aequatio¬ nem pro curva quaefita. Similis Methodus fuccederet in prae- fente Problemate , fi modo in differentiali ipfius 2, quod ori¬ tur polito conflante , atque efl Ndy -f> P dp , relatio inter differentialia dy & dp pateret , ut per dy divifio inflitui, atque valor finitus nihilo aequandus emi poffet. Cum autem iftam relationem inter dy & dp , fine qua Methodus maximorum 8c minimorum vulgaris adhiberi nequit , a priori definire etiam» num non liceat , poterimus eam a pofteriori affignare : Quia e-
d P
nim inventa efl aequatio pro curva quaefita haec N — j-,= q>
intelligitur, hanc ex illa Ndy + P dp> feu N+
oriri po-
tuiffe , fi conflit iffet effe — 3 feu o == dP 4~ ,
d x d y p
ob dy =pdx. Quocirca relatio illa inter differentialia dy & dp ita erit comparata , ut contineatur aequatione pdP \~P dp — o ,• quae proprietas ad hanc redit ut confiderari debeat p? tanquam conflans. Hinc ad Problemata refolvenda , in quibus curva quaeritur habens valorem formulae fzdx maximum vel mi¬ nimum , exiflente d Z = A id x -{-Ndy + P dp ; valor ipfius Z debet differentiati , atque in differentiali Md x -j~ Ndy i-Pdp , , loco Mdx poni debeat o, Ndy immutatum relinqui , tum vero loco P dp fcribi — pdP ; & id ouod emergit nihilo aequale poni. Hoc enim pa6lo obtinebitur Ndy — j>dE = o; quae aequatio.
ob dy = pdx , tranfit in .hanc N
dP d x
o , quae efl ea ipfa
quam invenimus. Defideratur itaque Methodus a refolutione geometrica & lineari libera qua pateat in tali in vefligatione ma¬ ximi minimive loco P dp fcribi debere — pdP.
Pro-
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 57
Propositio IV. Problema.
40. Si Z funttio ipfarum x, y, p ^ q , it d ut fit dZ == Mdx + Ndy-f-Pdp + Qd q j invenire , r^=.
wj «afew dbfcijfa refundentes z edm in yxa Jit 1'Zdx maximum vel minimum 0
SOLUTIO.
Valor formulae IntegraKs fzdx evolvitur in binas has feres 2T af* 4- Z'dx + 2’dx 4- Z''dx 4- &c. & Zydx 4- Z„dx 4- Zndx 4- &c, quarum aggregatum maximum erit vel minimum , fi fin- gulorum terminorum valor es differentiales , qui oriuntur augen¬ do applicatam / particula nv, colligantur, & nihilo sequentur. Tali autem applicata? / incremento mutationem patiuntur litte- y J / , / ; q, , q ■> q ; adeoquc ii tantum termini in quibus i f- tse litterae infunt, hoc eft termini Z,d x s Zdx & z'^. Ad horum terminorum augmenta, ex tranflatione pun&i n inv orta., invenienda , differentientur ii , eritque
d. Zdx == dx ( Afe + 4- Pi/ + QdJ )
d. Z dx = dx ( Mdx 4" V d y 4- P dp
d. Z,dx = dx (M,dx 4- N, dy , + P, dp, 4- )
Jam vero , quia abfcifla v ab illa tranflatione non afficitur , po« nendum eft ubique dx = o : deinde vero reliquorum differen- tialium valores ex tranflatione pun&i n in v orti , per primam hujus Capitis Propoiitionem ita fe habebunt :
EulerI De Max. $ Mm*
2 nv dx3, n v
Jg DE METHODO MAX. ET M I N.
His differ entialiufn per n v exprefforum valoribus fubfiitutis, prodibit fequens valor differenrialis, n v. dx {N — ^ -p. i. 4.
2^+ Qj_\ _
)=*-• ~+ d-4%)
dx dx 4
n v» d x
dx& dx% J v dx 1
(V — §f + ")ob ddQ^ — ddQ Quamobrem pro cur
va quaefita ifta habebitur «quatio N Q, E. L
ii _l ddQ
d x d xZ:
O*
C O R O L L. L
41. Quod fi ergo in maximi minimive formula fzdx infint etiam diifercntialia fecundi gradus , feu , quod idem eft , fi Z fuerit funftio ipfarum x ,y , p & q ita ut fit dz = M dx 4- Ndy + Pdp + Qdf > aquatio pro curva qu^fita erit N — -
Tx ^ ° ; ^U3e ^ac^e ex differentiali ipfius z forma¬
bitur»
G O R O L L. II.
42. Si quantitas QJpfa involvit q vel diflferentio-differentia- !e ipfius ys tum ddQ continebit diflferentialia quarti ordinis, in liocque genere erit aquatio pro curva inventa. Ex quo cur¬ va fatisfaciens per quatuor data pun&a traduci poterit.*
C O R O L L . III.
43. Si igitur in contineatur q , tum Problema ita deter¬ minate proponendum erit, ut inter omnes curvas per quatuor data pun&a du&as ea definiatur, in qua fz dx fit maximum vel minimum.
SCHOLION L
44. Ponamus in jQ^non contineri q i ut mvefligemus eujuf-
nam
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. S9
nam gradus futura fit sequatio differentialis refultans. Accidit
autem hoc, fi maximi minimive formula propofita fuerit hujuf-
modi f2qdx , exiftente „2 fun<ftione tantum ipfarum x , y &
p: ira ut fit dZ — Mdx -pNdy + Pdp. Hinc igitur erit
d.Zq = Mqdx+Nqdy-\-fydp + Zdyx unde procurva
^ . .1 P d q + q d P
qusefita orietur aequatio haec o = N q — - -
I dMdx -p dNdy + Nd'di + Pd d,P -f- d P dp ^ peu Q ^
.dx%
+ dM+ pdN^ vd Q _ lVd + dM + pdVi aax sequi-
d X
pollet tantum aequationi differentialis fecundi gradus 5 propter
dp — ; ^ quod ineft. Si igitur curva defideretur, in qua fit
fZqdx maximum vel minimum , exiftente 2 fiin&ione ipfa¬ rum at, atque dZ = Eddx -{- Ndy 4- P dp ; procur¬
va quaefita habebitur aequatio o = dM -p iNdp-p pdN.
C O R O L L « X \^o
45. Ut revertamur ad aequationem inventam N — - —+ o; patet eam fore generaliter integrabilem fi fit N-
_ A ( • 1 « k *
J. w ^
hoc eft fi in 2 non contineatur 7 > prodibit enim integranda C — P + 7^"= o* Si infuper fit P-= o , altera integratio fuc- cedit 3 qua prodit Cx -\-D — Q^— o.
C O R O .L L. V.
4 E. Si fit M = o , pariter una integratio in genere fucce«' <dit : cum enim fit d'Z=Ndy + P dp + Qdq ; multiplicetur
aquatio N— ~~ +• ^ — o per dy , feu pdx , habebitur Ndy
d x d x
= 0* Addatur *fZ — Ndy—Pdp —
H * C2/f
'do r DE METHODO M A X. ET MITI
Qd g — Oy orietur dZ — pdP — Pdp 4- t^A3 — Qdq
— o > cujus integrale efl Z — Pp 4- ? f ^ — Qq = C
X
C O R O L L. VI.
47. Si fuerit & M==± o & V = o ; erit primo , ob V == o ,
Bt fupra; C — F + = o. Deinde cum fit dZ = Pdp 4- Qdj ,
multiplicetur illa aequatio per dp > feu qdx , erit Cdp — F*// 4- 7 ^ Qj= o - addatur P dp 4- QJq — d Z — oj prodibit Cdp Qjl q + q d — d Z = o * cujus integralis eft C/ 4- 4~ £^,7 — - -2 = o .
SCHOLlOjH II
48. Si nexum aequationis inventae pro curva quaefita , qua? habeat fZdx maximum minimum ve , cum clifferentiali ipfius Z infpiciamus ; determinare licebit relationem inter diflferentialia dy , dp & dqy ut differentiate ipfius Z nihilo aequale politum, prabeat ceauationem pro curva qusefita. Cum enim fit dZ — Mdx 4- Ndy 4- Pdp 4~ Qjtq\ comparetur cum hac forma
aquatio pro curva , N — 4- — o , feu ha?c per
dy=p dx multiplicata , qua? erit Ndy — pdP 4- PlpL — 0 ;
d x
unde patet , in differentiali ipfius 2, loco Mdx fcrrbi debere o , at terminum Ndy in variatum relinqui, porro loco Pdp fcri-
bendum effe — pdPy ac loco Qdq poni debere Ve-
rum quoad ha?c a priori pateant , proflabit formam aquationis inventa? retinere, quippe qua? facile memoria teneri poteft. Ce¬ terum notandum cft Problemata huc pertinentia omnino effe no¬ va , neque adhuc ab iis qui alias de hoc argumento fcripferunt pertractata. Alias enim Scriptores maximi minimive formulas contemplari non confueverunt, nili in quibus ad fummum dif¬ ferent
/
AD CURVAS 1NVEN1END AS ABSOLUTA. 61
ferentlalia coordinatarum primi gradus inelfent. Quamob- rem eo magis erit operae pretium naturam hujufrrtodi Problema¬ tum accuratius indagare 3 atque inprimis oftendere, quomodo curvae fatisfacientes quatuor pun&a , per qua5 tranfeant 5 ad fui’ determinationem admittant. Hunc in finem fequentia Exem¬ pla adjicere vifum eft ; atque in fingulis indicare 3 quae ad ma¬ jorem illuftrationem facere poterunt.
Exemplum I.
tt * "■ /* ^ y d (1 v *■ „
4p, Invenire curvam y m qua jit 1 —3 - - maximum vel mu
m j
x dy
mmum.
Ifta maximi minimi ve formula, ope fubfHtutionum dy == p dx> & ddy = qdx% > abit in hanc ; quae cum fit fi-
m x p
milis formulae §, 44 tradfcrcas fZqdx p ubi In Z tantum at, ySc
«
f contineri pofirimusq fiet , comparatione infiltuta , Z= -Z-
& dZ
n
my dx
m t 1
x p
« — 1 r
«7 _ dy
m
x p
ttt >
X p
ii
y .
m
i unde erit M
n 1
j?? &v= n-i —
m 1 1 ni
X p x p
X P'
hin eque N /
n y
n — r
m
X
Cum igitur, pro curva qua?fita , inventa fit ha?c aquatio o = d Ai q- 2 N df -f* p d N = d AI q* Ar dp q. d.Np , habebimus
pro noftro cafu hanc aquationem c = 7lLA?Aj-j)y_Jx __
mi 2 x p
6i :DE METHODO MAX. ET M IN.
n- i
niny dx
i
x
quae multiplicata per mutatur in hanc
0 = ) ydy — mnxpdy -f- m xy dp + nx% pdp -p
n (n - 1) x*p* dy , r r , N t ,
- — - - — mnxpdy » leu o = m f m -f- i ) y dy
— -2 mnxypdy 4- n{n — i) x% pzdy -f- mxy%dp-\-nxzypdp: quae eft aequatio differentialis fecundi gradus, quae, pofito y =
/v ^ ^ 6 4
reducetur ad iftam primi gradus m {m -p- \)vdx -\-mxdv
- m ( 2 n — i ) dx-\-nx% v dv + rd xzvl dx~^=o. Quod
fi autem ponamus m t== o , ita ut maximum minimumve elfe
debeat jz^LAiJL;
dy
habebitur ha?c aequatio ( n - 1 ) pdy +y d p
= o a quae integrata dabit/* 1 p = C,-feu y1 1 dy = Cdxa9
hsecque denuo integrata praebet y =^Cx~\~D. Sin autem po¬ namus# = o, ita ut maximum minimumve elfe debeat haec for¬ mula f ^2- — ; erit ) dy-^xdp — o , feu ) pdx-\-xdp
xdy _
=o, cujus integraleeft xm Yp-=C> feu dy=Cx m 1 dx 'y
c
qua? denuo integrata dat y = — — + D . Patet autem in
X
his curvis inventis formulam propofitam fieri maximum , non vero minimum; nam fi fumatur linea reda, ob ddy= o, mani- feftum eft valorem formula? propofita? minorem fore pro reda 11« nea quam pro curvis inventis.
S C HOLI 0 N III
50. Ratio hic affignari poteft, cur hujufmodi qu^ftiones, in quibus fZqdx maximum minimumve elfe debet, deducant tantum ad aequationem differentialem fecundi gradus, ideoque quaftionibus pracedentis Problematis potius fint adnumeranda , fiquidem z fuerit fundio ipfarum x & y & p. Nam per re¬ ductio-
A~D CURVAS INVENI END AS ABSOLUTA. du<ftionemdntegralium formula fZqdx, , reduci po-
y
teft ad talem formam T + fV dx, in qua T & V fint fun&io- nes ipfarum x, y Scp tantum , non amplius involventes q . Cum igitur T fit quantitas abfoiuta, atque idcirco in maximi minimi- ve inquifitionem non cadat, formula f zq dx fiet maxima vel minima, fi fVdx talis reddatur $ adeo ut hujufmodi formulae fZqdx reduci queant ad procedentis Problematis ftatum; unde mirum non eft , quod pro curvis fatisfacientibus oquatio differen- tfalis fecundi gradus duntaxat reperiatur. Quo autem memo¬ rata redudio formu hc fZqdx {QwfZdpzA T 4- fVdx me¬ lius percipiatur i ponamus, cum T fit fundio ipfarum x, y & p, elfe dT =s q dx + <rdy rdp = (f-\-<rp ) dx + rdp ; & ex oqualitate fzdp = T -VfVdx, erit Z dp=-f^-\~ up )dx 4- rdp 4- Vdx ; unae concluditur r ~z& /Z— — ^ — <rp. Qtiamobrem ipfa hoc redu&io fequenti modo inftituetur ; integretur formula Zdp pofitis x & y conflantibus, & integra- le erit fun<ftio ipfarum y Sc p , quo vocetur 2v Deinde dif- ferentietur hoc fundio T, ponendo p conftans, Sc differentiate negative fumtum dabit Vdx , eritque F fundio ipfarum at, * & p non continens q. Quoties igitur reddi debet hujufmodi formula fZqdx maximum minimum ve, ac z eft funftio ipfa- rum x & y Sc p i tum quoftio, etiamfi videatur ad profens Pro¬ blema pertinere , tamen ftatimad Problema procedens reduce¬
tur»
Ita fi fumamus formulam f-^j—^ /eu f~^i hoc facile
transformatur in yn lp — n fj ' 1 dylp\ unde maximum vel mi¬
nimum effe debebit hoc formula/}72 ldy lp, , feu Jyn 1 pdxlpy quo per procedens Problema tra&ata, dabit z= yn lplp,Sc dz~in— x)yn s dyplp +/ V/(i +/?)j eritque AT'
~ &P=/~ T(i+/^). Atob
M — o, fupra §.30 pro curva quofita inventa eft hoc oqua- tio ZJr C—Fpy quo ad noftmm cafum accommodata pro¬ bet
D E METHODO M A X ET M 1 Et,
bet f 1pfp~\~C=yn 1 f> + y plp^Cwty™ lp^=z s C i qua? efl ea ipfa aequatio 3 quam ante pro eodem cafu in fo- lutione Exempli invenimus. Hanc ob rem ad Exempla .huic Problemati propria progrediamur.
♦
Exemplum II.
i
$ I , Invenire curvam A m , qua cum fu a evoluta AR & radio ofculi m R m quovis loco applicato 3 minimum fpatium A R m includat .
Politis abfcijla A M — *3 applicata M m — y ; erit radius
ofcufi m R = • — ^--Lriz.^V ; area autem A R m eft =
q
fl m R. dx'\f ( i +pp ) ; ex qua minimum efle oportet hanc for¬ mulam / - -T — 15. Erit itaque Z = - 1 + Vp- — , & dz
q x <1
±C±±JJllAP _ (±±2lZJj. j unde fit M
q qq
N=o, P =
_ 4(i+wb
5 & £L
( i +/>?)■
= O 3
Cum
g ' ~ 43
nunc fit M=o & Z — o; erit3per Coroll. 6, aquatio pro
curva qu^fita z^=D 4 - C/+ feu ^
Z>4-
» ?
Cp — ( 7 d~ P_p) ,3 hoc e(i:2(i+//)1 = Dq -f- Cpq . Quoniam q
porro dp —qdx , feu q = ~ , erit idx — ;
cujus integrale eft * = ^ + a*/ (Tj^. = TT7?
+ */ fl- + c : mutatis pro lubitu conflantibus , habebitur
n
X
_ _p ^ A tang. p. Deinde quia efl dy
p d 1 x , erit y == fp d x = p x — f x d p \ ideoque ^ —
A tang ./>
I
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA ,
A tang./ = «l±hP+£ (_i±*££2i> ob hfdf A tang./
~h A tang. p — tJflLt' Hinc erit ; =/+
+ (c — <*) Atang. f— =
& r r i -f- pp
4- (c — A tang. /. Atque ex his quidem ipfarum x Scy valori- bus per / Inventis, curva qua?fita per dataquatuor punda duci at¬ que conftrui potefl. Verum ut ipfa curva qualis fit cognofcatur, eli-
ei C
— — / — -jypp
minetur A tang./ ; eritque A tang./ =
-x
h
f
y
c - a
■a
4 -/
(b+f)
■i+PP
PP
i atque hinc (c—a)X—by
1 4* p P
__ ( ac a a - bf') 4 - 2b ( c a ) p 4- ^ cc ac bb - bf ) PP_
I 4" P P ^
Quoniam autem ipfa curva non mutatur , etiamfi coordi- nata? conflante quantitate vel augeantur vel diminuantur , erit <>— *)* ~by= >J — (c — «Y±*b(c — *)t .
I 4- p p
que a loco c — a > habebitur dx — by & fubtrada conflante bb> erit ax — by-==.
hineque \J(by — ax) = -tf— ~r-~ Ponatur arcus curva? = & ; erit dw ==: dx >/ ( i 4 -//) ; unde emerget ifla aquatio
dw — . arque p0rro »«= — ax ). Ex-
primit autem by — *x multiplum abfciffir fuper alio quodam axe fixo affumta? , cui adeo quadratum arcus refpondentis eft proportionale. Ex quo intelligitur curvam qutefito refponden- tem eiTe Cyclotdem , qua? per quatuor data punda determina¬ tur, atque fic de/cripta inter omnes alias curvas per eadem qua¬ tuor punda dudas, minimum cum fua evoluta concludit fpatium. Euleri de Max. & Min . I Con«
; pofito-
b b - a a -f- 2 nhp .
i 4 " pp
■ a a 4“ 2 ab p b bp P
I 4 -pp
66 DE METHODO M A X. ET M 1 N.
Conclufio ha?c ideo aliquantum difficilior fa&a eft, quod Cy- dois pro re<5la quacunque inftar axis aflumpta quaffito fatisfaciat, atque aequatio pro axe quocunque admodum fiat intricata. Si autem vel a vel b pofuiffiemus ==o, quo quidem extenfiofo- iutionis non fuifiet reftri&a j aequatio pro Cycloide ftatim pro- diiffet.
Exemplum III.
52. Invenire curvam , in qua fit f ^ dr, denotante % radium tfculi, & d W elementum curva , maximum vel minimum.
Per politiones ante factas eft drv = d x fi ( i -f -p p) & ^ 3:2
\_L *rPP - i unde maximi minimive formula erit fi - i*}
q j
n
hineque fit z= Ll p^PP)
1 n
( 3 n 1 1 ) :2
Q.
8idZ
(3 »4* 1 ) (1 4- tP:i_L \ lAt eL 1 4 -Ptl ! ” 1 ‘ ^ * i 5
72
7Z + I
0« -0:2
Cjuamobrem erit M— o , N=o, - b
&&=
T
.(} « + 1 ):a
^ ( 1 n- PP - Cum autem I fit M= o
w + 1
& # = o 3 erit 3 per §. 47 ^ = C/ 4- D q- £^7 ; ideoque
( « .. 4. I N- •*
(i+PPJ
( 3 w 1 1 >2. , , f „ . 3 W + I ) : 2
n
Cp -f- D
3 feu
f d- 1 ) ( r + pp ) ^ 3 ?/ 1 ^ ' 2 = f C/> -f- D ) <f i atque
, . *( 3 n \ 1 ) : 2«
liinc ^ =
.( 3 « + 1 ) : 2« .
O +ppy dp J
- - = f ■, ergo dx
%(c + Df
dp”y/.
-AB CVRVAS INVENIEND AS APPLICAT A. 6~j
dp 'sf — - ~~^TT~7 - ) atque dy—p dp - c-hDp
. (i+M)(!"+,):* . ' (*+Pf)“aU)!t
Hic aurem merito fufpicari licet , aquationem futuram efie fim« pliciorem , fi alius axis accipiatur. Hanc ob rem concipiamus alium axem in quo abfcifla fit = / 5 applicata = v > fitque
d v = s dt y ac ponatur x
ct t -p- /3 Uf
y
8cy
pofito y=s C +/31 )• Erit ergo dx dy == — - — — atque j- = p — _
(i +//»)== friJ ,f ’ & d*
ro autem erit C + =
- cjV
y
czdt -p- $ S d t
y
CtS
ct “p- / 3 s y y d S
( ^ + /3 S j x
a C ~h (d D *p- s (5C — - ct D )
, & Por~ - , &
ct -p* \_b~]s
ii+ppi 3 + 0 : 3 = ■* - . ..His
( «+&0
(3 » + i ) : «
fubfti tutis, erit dx=jdl±£ilL
et(ct ^ 3 f) ds ^ .jk+ijuh* P0^'
^ ( i + -f / )
to 3 C — *D> & mutata conflante. Porro autem fit dy
3 d t - ct dv
y
ads
a(3
( 1 + 5 S )
— & conjundimprodit^
(l + «)
has coordinatas oque * & j appellare potfimus ac procedentes, fet j =/, atque dx = - , & <*jr =
— ’ ? & 'I/
^ j-
ds
Cum
nunc
ap dp
( i -d-??)
■.(}»* i');»»» qa* ex prscedentibus oriuntur, fi ibi po-
( 1 +/,f)
natur £> = 0: ex quo perfpicuum eft, latitudini folutionis fu- perioris , in qua inerat C+ Dj>, nihil omnino decedere, etfi ponatur D ~ o. Eadem fcilicet prodit linea curva, quicunque
I 2 valor
^8 DE METHODO M A X. ET M 1 N.
valor littera D tribuatur, etiamfi aiia aquatio inter x 8c y pro¬ veniat; verumtamen ad alium axem relata. Notare interim con¬ venit pluribus calibus curvam algebraicam fatisfacere ; quorum
quali primus eft fi n { 5 qU0 erjt # — f
a d p
«P( I + ipp) s - apdp
,8cy=f-
( i +ppy
? : 2
i
a
} : 2
n:2
(i+pp)
c» +?/>y —
tutis refultat x
a
3 y
( 1 ~bp p)
& p p = y/
; unde fiet
* 9
algebraica pro curva , cafu quo eft n
9 9yy
(i+ppyl:z
a a - i , quibus fubfli-
aa
9yy
i ) , aquatio
E X' E m p l u m I V.
53. Invenire curvam , in qua [n valor hujus formula Mmnium minimus »,
yd y d x
y
SI
Patet primo maximum locum habere non poffe , quia in li¬ nea reda fit ddy= o. ; ideoque valor formula propofita infi¬ nite magnus. Quamobrem videndum efl in quanam linea cur¬ va fiat valor formula minimus. Hac autem formu-
ddy . |
la per fubftitutiones noftras abit in hanc f^~~ ; eritque z =
12, & dz = pJ2 +yJl
q q q,
2-, & P — -2- , & Q =
Q °L ^
ypJq.
qq yp
, erit ergo M = o 3 N
— . Quoniam autem efl: M=o;
curva quafita fequenti exprimetur aquatione Z — Pp — Qjq C > ut Coroll. 5 efl oftenfum. Quamobrem ifla
y p
dx
proveniet aquatio
S-d.VL=C, feu
d x qq p q
ydy . adx _ pdy
+ T — Tv
— 12Jjj 5 ob dy z=fdx. Quia vero eft dp — qdx
erit
erit
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA.
ydp y dx _ \ydy .
q
69
- mA, vel
qq q pq P qq q
cil — zyjj' Si ponatur conflans a = o 3 ha?c seqOatio pp q qq
^ • . (i d x
i ideoque -
pq M p
fiet integrabilis , eritque y—lff&f—y/ y = ^ — - -r; 5 unde fit f dp = dj \J ; atque integrando tl ~ *
^ V
“ • . yA/y+*A/*«
+ r* leu 3 mutatis conflantibus ^ // ~T777 — 3 & / =
3.‘2 ,
j? 4- *
,3:2
bs/b
hincque dx= dy s/
? : 2
dx
natur denuo <z = o , erit*
.. b V/ c
%/jy
2 3 : 2
jy + «
. Po-
& xxy = bze 3 qua? efl
xquatio maxime fpecialis pro curva quadlioni fatisfaciente
Exemplum V.
54, Invenire curvam , // valor hujus formuU f q 11 d xv
fcu f - Ai?L maximus vel minimus*.
J . 211 — — 1 * dx
Habetur ergo Z=q\ Sc dZ== nqn~ 1 dq\ unde erit M— o, y= o, P— o, & Qj= \ Cum igitur
aquatio pro curva fatisfaciente fit hac = o ■>, erit dQj=
Utd x & Qj=qn 1=clx-\- /3 ; hincque (« at -f- /3 ) 1 ’ ^ 1*)
= ex quo fiet /'== («AT-f- /3) ” ' C” !) + y = ^;
& tandem ^ =- («a: +•$) ~~~ 1 ^ ^ n 1 ^ + y * *+• ^ i
ubi coefficientes per integrationes ingreffos in conflantibus fumus complexi. Curva? igitur fatisfaeientes perpetuo funt algebrai- ca?$ excepto cafu., quo eil^=f , tum enim poflrema integra-
I. 3, tio>
7° .$> E MET HO D 0 'M A X. E T M 7 N,
i
Ct
l\ctx~ \~Q> ) -\~yx 4- <7 . Quod ad ca*
tio prarbebit y —
fum n~ i attinet, ille in inveftigationem ipaximorum
& minimorum nequidem incurrit ; cum formula fiq d x non
fit indeterminata , fed determinatum valorem, puta /, ob qdx
= dp, referat. Caterum patet , evanefcente termino
. si N ( 2 n — — I ): ( n - i) _
+ y lineam redam quaefito fatisface-
re, ob y—y x-\- d. Scilicet fi quatuor punda data , per qua: curva quarfita tranfire debeat, fint in diredum pofita; tum ipfa linea reda, pra: omnibus reliquis lineis per eadem quatuor punc¬ ta tranfeuntibus , qua?fito fatisfaciet.
E X E M P 2, M VI.
T5 - fovwire curvam, m qua fit f-f-i-1 maximum vel mini-
y q
mum.
Quia effc Z
xp
yq
, erit dZ.
pdx
yq
x p dy . xdp
fq ^ JT
xp_dq . |cJe0qUe fyf
yqq yq
xp
i p
X
& Qs
xp
yq‘
y q ' yq Quorum terminorum cum nullus evanefcat, aquatio
XP 1 J X I /T X p
pro curva quctfita erit
d , feu o xp dy
xpdx
yz q
y* q
* , dx%
4~
d
d,
X yq
dx"
d\
yq‘
xdp
fq
+ -T- -
yq
2 xp d q
x d xdy _ xdxdq , , r pdx
yzq yfi ‘ *CJ?
yq- yq. ); velo=fVx‘(3jf-j/)
O — XP) - cpyqdxdq ( xyq - xpz 4 ~yp) 4~ 6xyzpdqz - ixyzpqddq~
Qua: eft aquatio difFerentialis quarti ordinis , qua: utrum inte¬ grari poffit , an non , haud facile patet ; neque etiam opera: pretium eft in modum eam integrandi diligentius inquirere ; quo- miam hic cafus non ex folutione Problematis alicujus utilis eft
natus
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 71
natus , fed fortuito excogitatus. Hoc autem Exemplum ideo ad¬ jicere vifum efl , ut cafus habeatur, quo folutio non folum ad aquationem differentialem quarti ordinis afcendit , fed etiam neque per fubfidia generalia fupra allata ad gradum inferiorem perduci queat. Praecedentia enim Exempla eunda ita funt com¬ parata 5 ut per regulas generales in Corollariis expofitas fiatim aequatio pro- curva quae lita inferioris gradus differentialis erui potuerit*-
PR O PO S IT IO V. P R OBLEMA.
5 6. Invenire curvam , in quafit valor fcrmuU fZdx maxu mus vel minimus , exifiente Z ejufimodi functione , qua differentia- lia cujufivis gradus involvat 3 ita ut fit dZ = M dx + Ndy 4-P dp -pQ^dq 4-Rdr-f- Sds + T dt -f- &c*«
S O L U T r Oi
Quoniam translatio pundi n in v praecedentia elementa ma- Fig ^ gis afficit , quam fequentla j unicum enim fequens elementum afficit, at in praecedentia eo ulterius extenditur, quo ahiorum ordinum differentialia adfint; hanc ob rem- expediet aliquam an¬ teriorem applicatam, uti Hh, pro prima accipere, ita ut muta¬ tio ex particula n v applicatae N n adjeda non citra H h por¬ rigatur j id quod eveniet fi in Z differentialia non ultra fexturn ordinem afeendant. Sufficiet autem valorem ipfius dZ ad ter¬ minum Tdt ufque extendere, quia ex ipfa folutione modus fa¬ cile colligetur eam ad quotcunque ulteriores terminos accom¬ modandi. Praeterea , quia in hoc Problemate praecedentia om¬ nia continentur, conflabit fimul folutionem perpetuo eandem prodire, quaecunque applicata particula quadam infinite parva, uti n y , augeatur. Sit igitur AH=^,&Hh=), refpon- debunt fingulis pundis abfeiffae H, I, K, L, M, N, O ■*&<:.. yalores litterarum p , r, x, t &c. ut fequitur:
\
1
72
DE METHODO M A X. ET M I N*
H
I
K
L
M
N
|
y> |
?> |
y > |
r , |
s, |
t |
|
i? |
/> |
q\ |
r'9 |
s\ * |
/ |
|
fy |
f> |
s", |
/ |
||
|
<r/ |
j/t |
tr/ |
/// |
t/f |
r n |
|
y > |
P • |
y > |
r , |
s |
t |
|
/V/ |
j \/ |
! \f |
i \> |
1 Xf |
J ' |
|
y > \< |
K ’ |
y \f |
r , \/ |
s * |
t y |
|
y > |
p > |
y > |
r , |
s > |
t . |
Hi autem finguli valores a tranflatione n in v fequentia aug¬ menta accipient 3 qua? ex Propofitione prima3 debita mutatio¬ ne lignorum adhibita 3 ita fe habebunt.
|
o |
dj~ |
o |
1 1 |
o |
J dy — |
0 |
ii |
- o |
'-v II |
- + |
n v |
|
|
dtZ— |
— n |
//- |
O |
df' _ |
Ci |
dpn' |
— 4- |
M !■ |
y/ |
*n v |
||
|
T |
I |
^ * |
r |
d x |
||||||||
|
dd |
IsJl |
- - r\ |
da" - |
nv |
da"- |
2«! |
JfP- |
— | |
n v |
|||
|
o |
— ‘ L/ |
iCl |
- L) |
^ dxz |
(A/Vj *■ ■“ |
dxz |
(A Mf - |
1 |
dx\ |
|||
|
o |
dr~ |
0 |
id1 ~ |
r n v +dX' |
dr 'v — |
3 nv dx J |
-4- |
%n v dx% |
^v= |
n v dx% |
||
|
o |
ds'= |
+ dx |
//= |
4 nv dx * |
ds" — |
6ny dx 4 |
^/v~ |
4 n\ dx* |
ds |
"h |
nv lx* |
|
|
. n v |
Sni |
jjt |
, IOWy |
jj" . |
io nv |
JJV |
- -4— |
jy |
n v |
|||
|
dxs |
uL — |
djx |
tt - |
- “i - r d x5 |
ttv — — |
dx 5 |
A>b |
dxs |
it |
dx$ |
Quoniam porro valor formula fzdx abfciffe A H refpondet, ifque a tranflatione punfti n in v non mutatur , fequentibus abf- cillie elementis valores formula? fzdx refpondent, qui in hac Tabula exhibentur.
Elemento
HI
IK
KL
LM
MN
NO
refpondet zd x z' d x z” dx Z'" dx z,x' dx Zvdx
Adho-
AD CURVAS INVENIENDAS A E SOLVE A. 73
Ad horum valorum incrementa 3 ex tranflatione pundli n in v oriunda , invenienda 3 fingulos hos valores differentiari , locoque differentialium dy 3 dp , dqs dr , ds> dt cum ipforum derivati¬ vis valores fupra afiignato$& per n-r expreflos fubflitui oportet; eritque ut fequitur
E d x d. z'dx- d, Z"dx- d.Z"dx d.Z"'dx 'd. ZVdx:
n V, dx ( -Tj-J )
n v, dx (
: n y. dx (
|
c 1 • 0 |
■fr\ |
|||||
|
dx* |
dx* J |
|||||
|
K" dx ‘ ' |
4 S» dx 4 |
4- IOr? 'i + <*50s J |
||||
|
. g" ■dx*' |
_ 3jl/" J x3 |
+ |
6S,r/ __ dx * |
_ rorw dx$ ^ |
||
|
p /v dx |
_ 2^' dx % |
+ |
bk'[/ _ d x 3 |
4 S,u dx* |
^ Jxs |
) |
|
C N'1 |
pV dx |
dx% |
dx 3 |
e>' ■h dx * |
tj-t V r*x* |
)
Quia jam hscc fola elementa a tranlpofitione pun&i n in v alte¬ rantur & incrementa capiunt 3 fumma horum incrementorum da¬ bit Integrum valorem diflerentialem 3 quem formula fzdx ad totam abfeiffam A Z extenfa accipit , qui igitur erit
f 4- N*
1 Pv/-fPn'
-11 dx
j v—iqt+q'"
h f. dx <1 -f- — ZR 4-* R 'f
5 Jx1 “
S' v — 4S” + 6S'"— 4S7~bSr
d
rv+Tr'v — ior"/4-ior<' — ^r' + y
1, d X5
Singula autem ha?c membra per differentialia commode & fuc - cinde exprimi poterunt : erit cnim3
Euleri de Max. & Min . K — P 1
K
74
DE METHODO M A X. ET M1N,
- — P'v~ — dPnr
+ Q! — 2 cC +CC=+ dd(X"
— *w'+ 3 R''l~iR'"+R'/== — ^R”
+ sv — 4r' + es'" — 4^" + s' —+ d*sr
— T' + J T'1 — IO T" + 10 T" — 5 V + T — * — d!T
Qpamobrem formula; fZdx integer valor differentialis ex par¬ ticula n y ortus, erit = nr. dx ( N'1 — - f- ~^2- -
■ dx dx dx
+ ^ 4 — ). Hic autem 3 quia omnes termini funt homo-
genei , fignatura? tuto omitti poffunt , evanefcit enim di/crimen inter Nw & N, itemque inter dfiKr & reliquaque, Quo* circa habebitur formulae fZdx ifte valor differentialis
» v» dx (iV
d P , ddQ d*l{ d*S d5T->*
dx d x% dxis dx * dxf
es quo fimul valor differentialis formulae f zdx colligi poteff ? fi in Zaltiora etiam differentialia ineffent. Quare fi curva quae¬ ratur , quae habeat/ zdx maximum vel minimum pro data abfciffa, fueritque d Z = M d x -f- N dy -\~F dp 4* Qd q -f- R dr -f- S d s- 4- T dt -f- &c, erit primum formula? fZdx valor differentia.- Es hic ::
nv.dx (N- — 4-
d x
MQ d%
d x 3
dx 3
4-
d*S
dx*
ddT
dx5.
4- &c.
Hincque pro curva quaefita orietur ifta aequatio
©
N
JP ddq d x dx z
d*R , d*S dxh
d5T
dx * dxs
4 5cc. i*
C o- R o t l. L
57. In formula fzdx\ uti eam tractavimus , continet differentialia quinti gradus : fi quidem in
quantitas Z differentiali
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA . jf
ipftus d Zts^ jfcfAx -f-1 jV dj *4” P dp 4“ tdjjtj -f* R dr «f» Sds 4 -Tdt terminus Tdt eft ultimus. Cum igitur in T adhuc in~ fint differenti alia quinti gradus feu / , perfpicuum eft aquatio* nem pro curva qusefita fore differentialem decimi gradus.
C O R O L L. II.
58. Hmc intelligitur perpetuo aquationem differentialem pro curva ad gradum duplo altiorem afcendere debere, quam fue¬ rit ipfa formula maximi minimive. Ponimus enim , in ultimo termino Tdt , quantitatem T adhuc t in fe compledi : ni fi enim hoc efifet, duobus gradibus aquatio deprimeretur, uti ex §. jq colligere licet.
C O R O L L. III.
5£. Si igitur in Z differentialia gradus n contineantur , tum aquatio pro curva differentiatis erit gradus 2 n : & hanc ob rem totidem novas conflantes arbitrarias poteftate in fe continet.
C O R O L L. IV.
€0. Ob tot igitur conflantes arbitrarias , totidem pundaad* Problema determinandum propofita effe oportet ; ita fcilicet Problema, ut fit determinatum , enuntiari debebit ; Inter omnes curvas per data m punda tranfeuntes, determinare eam in qua fit fzdx maximum vel minimum, fiquidem quantitas Z complectatur differentialia n gradus.
C O R O L L. V.
61. Ob n igitur numerum integrum, numerus pundorum , 'quo Problema determinabitur, femper erit par. Sic, vel nul¬ lum pundum, vel duo, velquatuor, vel fex, velodopundaA & ita porro 3 ad Problematis determinationem requiruntur.
K %
SCHO-
7$ Z>E MET HOLO MAX7ET MIN,
SCHOLIOU L
6 2. Ex gradu diJferentUlitatis igitur , ad quem «quafcid pfo curva inventa affurgit , vel ex numero pundorum per qua? cur¬ vam fatisfacientem tranfirc oportet , hujufmodi Problemata com¬ mode in Claffes diftribui poterunt. Ad primam igitur GlafTem ea referentur Problemata , in quibus abfolute queritur linea cur¬ va, qua? pro data abfeiffa habeat valorem fzdx maximum vel minimum i talia Problemata cum in Propofitione fecunda con¬ tinentur, tum etiam in tertia, iis cafibus quos §. §. 2 6 & 27 expofuimus i his fcilicet cafibus folutio probet curvam determi¬ natam qurefico fatisfacientem. Claflrs fecunda ea cornpleditur Problemata, quorum folutio ad aquationem differentialem fe¬ cundi gradus perducit : ha?cque duo pundaad fui determinatio¬ nem pofcunt; & ita proponi- debent, ut inter omnes curvas per data duo punda tranfeuntes ea definiatur, in qua fit fzdx ma¬ ximum vel minimum : cujufmodi Problemata in Propofitione ter¬ tia foluta dedimus. Porro ad tertiam Claffem pertinent Pro¬ blemata in Propofitione quarta tradata, qua? ita fe habent f ut inter omnes curvas per quatuor data punda tranfeuntes de¬ terminetur ea qua? habeat fZdx maximum vel minimum. Simili modo quarta Claflis poftulat ad determinationem fex punda , quinta odo , & ita porro , quas Claffes omnes in praefente Pro¬ blemate fumus complexi. Ceterum etfi sequatio inventa ad tan¬ tum differentialium gradum afeendit, tamen fepius generaliter integrationem unam vel piures admittit, cujufmodi cafus in prae¬ cedentibus Problematibus nonnullos exhibuimus. Hanc ob rem videamus etiam quibus cafibus aquatio noftra generalis integra¬ tionem, vel unam vel piures, admittat; ut in allatis Exemplis ftatim videre liceat, utrum ea in his cafibus contineantur an fe¬ ras. Hujufmodi autem cafus potiffimum funt duo , in quorum altero eft N .== o ,in altero M— o, a quibus deinceps ai ii ca¬ fus pendent, quos hic evolvemus»-
2T) CUR? AS INVENIENT) AS ARS OL V TA. 77
Casus I.
63. Sit in maximi minimive formula fZ d x terminus 0 ;
ita ut fit dZz=M dx -\-P dp + QJ,q + R dr~^ S ds - f- &c.
Hoc ergo cafu aquatio pro curva erit h^c, o = — j- 4.
t3~w +0-J7 + &c- p" '' ■***■
cata , fit integrabilis , prodibitque
+iL?_^i r+&c
Casus II.
£4. Sit & N= o & P — o j ita ut fit = Mdx + Qdf 4“ R d ¥ 4” S d s -j— T d t 4~ &c.
Quoniam eft N=o> una integratio jam fuccelfit, habetur- que pro curva qusefita ifta aequatio modo inventa, pofito edam P = o :
Casus III.
'6$.r Si fuerit & N — o & P — o & o, ita ut fit /Z = Af ^ -v 4- Rdr 4- Tdt -j* &c.
Bini vafores N <k P evanefcentes jam praebuerunt hanc aqua¬ tionem bis integratam o .= A x — B 4 — ~r 4 7^ 5 — -■
d OC d OC
d2 T
j— 3— 4- &c. in qua fi ponatur Qj= o , & multiplicetur per
£Z
dx > obtinebitur fequens aequatio ter integrata:
O =Ax> —Bx+C — R + i? — + &C..
d X a .x ,
K 3 Ex
?s
DE METHODO MAE. E T MW.
Ex quo Jam apparet , fi infuper fuerit R=^0 , tum etiam quar- tam integrationem locum habere , & ita porro.
Casus IV.
66, Si fuerit M~o > ita ut fitdZ~Rf dy + Pdp-RQd$ 4h R d r 4- iS* d s -f- &c.
Aquatio pro curva quanta ante prodiit o = N — - — 4-
d X
&c. quas multiplicetur per dy
JXjl _ d 3 K , d+s
d x* d x1 d x*
pdxy & tum addatur dZ — Ndy — Pdp~Qda Rdr — S d s — &c. prodibit.
o = dZ — pdP + Z—S,—
A *** d x'
Rdr — S d s - &C,
Pdp
d x
QJi
pd ! p_d*_S
'•* dx3~
&c .
cujus integrale aflignari poteft ; erit enim
o
z - pp + ML.
d x
r d S
ZAA ^ 4_ P_ddS « q.ddS
dx \j
Rr +
d x
-jQ-drZ — Rp -f-
P d Q. Qdp
d x
pdd R, ■' ' 'n,M dpdl{ -J-> T^ddf d xz " 1
, pd*$ - dpdds+d sddp - S d? p © . . .
-h - - - j-r — — 1 - - — &c. cujus termini;
quomodo ulterius progrediantur, fi in d Z Infint fequentia diffe* r entialia T dt , U du &c. iponte patet.
Casus V,
'6y. Si fit & M— o , & N—Q'3 ita Ut fit dZ—Pdp 4* Qjdy A-Rdr-RSds + c^'C.
Quia cft«V= p, una integratio per cafum primum Inftitua-
'AD CURVAS 1XV£N1£NDAS' ABSOLUTA. 79
tur, habebiturque o=A — P-b ^ -f- — — Scc.
qux multiplicetur per d p = qdx , ad eamque addatur o = — - dZ~\-P dp 4- Qd q-\-Rdr -b S d s -b &c. quo fa&o prodibit ifta aequatio integrabiiis
o =Adf~dZ + gdQj—^+ — &C.
“J— Q^dq -b R d v -b S d s -b &c, cujus integrale erit
O =Ap — B — Z+ Qj — 2iA 4. i*A§ &c,
* d x d x
+ Rr —
dx
-b S s-
feli o-Jp—B- — Z-\-Q^q - lAJL - 5^ -b
qddS dqdS 4- Sd dq qdlT - dqdd T-\~d Tddq —Td%q Q
’ 77F~ — ~ “ J ? “ aCr
Casus VI.
'62- Sit 8c M= o 8c N-=o & P — o > Ita ut fit dZ ~ f~^d q ~b R d ¥ ~b S d s ~b T d t ~b &C.
Ob N=o Sc P~ o, per Cafum fecundum3du£’ Integrationes lo¬ cum habent 3 eritque aquatio, pro curva qutelita 5 haec ,
dds _ cPr
o
A
X
B+Qs
4-
dx '
d
X
dx'
ad quam per dq = rdx multiplicatam fi addatur o =s= d Z — Q d q — R dr -. — Sds — T dt — &c. habebitur ifta aquatio dcnuo integrabiiis :
o=Ax dq — B df+ dZ — rdR + —■ —rfS + &c.
Cv X & oc
— Rdr— Sds — Tdt— &C.
cujus integrale eft
8-o
o
DE METHODO MAE. ET MIN,
r dS r ddT?
-A x q — ■ * B q Hh C -£~ Z —— Rr- f-
: —Af
Ss +
• 77
d x sJT
d x
d x
feu
A(x q — - p) -Bq+C-bZ — Rr +
r dS
6cc • S dr
r dd T — — dr dT -p* Td d r d x *
dx
-f* &C.
Casus VIL
69. Si fuerit M= o, o , P= o, & J2j=o> ita ut
Iit ^2 = Rdr-\~Sds-\-Tdt-\~ &c.
Ob iV = o 3 o , Cafus tertius iftam fuppeditat
aequationem pro curva jam ter integratam ,
o — Ax1—Bx + C — R+~ — d-~- +&C.
d x dx
ad quam per dr = sdx multiplicatam addatur o == — dZ + Rdr+Sdsmi~Tdt-]r Scc. quo fk&o prodibit ifta aqua* tio 3
o = Ax2 dr — B xdr + C dr — dZ 4 -sdS- — fA-JT
d OC
rbSds + T dfdr &c*
qua integrata dabit hanc >
o = A xr - — Bxr*drCr — D — -Z-\~Ss — — -4“ Hh &£•
d X
— 2 A X q A' B q + T t
+ 2 Ap
feu o = A ( .v 2 r - — 2 xq^ip*) — •£ (.v r-^~q') Hb CY— -77
— Z+Ss — tdT—Td> + &c<
^ &
<•
*
S CHO-
-f
(
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA . 2l
S C H 0 L 1 0 N I L
70. Horum cafuum ope, quorum numerum ulterius auge¬ re liceret , fi commodum videretur, fepe-mimero Problemata ad¬ modum expedite refolvi poterunt. Quod fi enim Problema quodpiam contineatur in aliquo iftorum Cafuum, qui unam plurefve integrationes per fe admittat, ftattm formari poterit aquatio pro curva , femel vel aliquoties jam integrata , qu^ pro- pterea ulterius facilius tradari poterit. Quod ut diffinditis pa¬ teat, dmulque ufus hujus poftremi Problematis , quo in maxi¬ mi minimive formula fzdx differentialia fecundum gradum fu- perantia infunt , declaretur , unicum Exemplum afferre juvabit.
Exemplum.
7 1 . Inter omnes curvas eidem abfcifjd rejpondentes , definire eam, cujus evoluta , cum fiua ipfius evoluta , intra radios evoluta maximum minimumve Jpatium complectatur.
1 Pofitis , pro curva quscfita, abfeiffa = x & applicata =y > fit elementum curvae = dvey & ejus radius ofculi erit ele¬
mentum ipfius evolutae ==^, & hujus radius ofculi ~ttLi :
b dtv
unde area comprehenfa inter evolutam curvae quaefitae, Ipfiufque
P d pz 1
evolutam , erit === i qu3e ergo expreffio maxima mini-
mave eft reddenda. Cum autem fit dw = d x \/ ( i +ppj ^
s
& q — erit d t> — 3 ( i +pp f pdx — . . .
‘1
J
( I z rdx
&
(i^pp)dx% ( gpp
cdl±lCz + (c±PPhl ) atque e
1 d w
Maxi-
qd X
M q
mi minimive formula itaque Q&fLLuhllll dx ( g p p
Euleri de Max . & Min
g2 DE METHODO M A X. ET M1N.
6fr4 -pp)r , (i *H> ?)*»*%. _ rj ~s9pp(i-hppy &'r *4-^)s>*
___ - h ^ “ p -
+ — ex quo ^ erit fun&i o ipfarum p, q & r> unde
differendando prodibit :
_ I g pdp( I + PP)( 1 "i- 3 P/Q 9Ppdq (i +pp)z 6dr(l + pp) 'J
dZ
q q q
VJ. ^ i JL
$6prdp(\ -Tppy ,i%rdq(l+ppy , 2rdr( i + #04:
qi q* ^ gS
. 8 rrpdp ( I + j7 ^ )S _ r' dq( I + P P
q$ q 6
Comparatione ergo cum forma generali inftituta > erit M ~ o ; 2f=o;
7 _ 9 PP ( i + PP Y _ g( i + )3** ( I + PP)*r*
q ~ q* qs
p i8K‘i + pp)(r + 3pp) _ i -b ppY , %rrp(i -}-pp)’
q q 3 gs
n 9PP ( i 4 -ppY r i8r( i 4-wQ* _ VLlLL^LLtX
qq ^ q 4 2*
r» ^(l+^)3 f 2rfl + p/>)*
s== - F — + ?
Cum nunc fit M — o &lN—o> folutio cadit in Cafum qui% tum 3 eritque sequatio pro curva quaefita haec ,
o = Af —B — Z + Qi + Rr—ij^
quae 3 ftdis fubflitutionibus , tranfit in hanc _ ^ A ^ _ 1 8pp( i -Ypp)% _ _ 1 6prC i+t>pV . 6rr(l+pp)*
q qi q5
_ ^ 2dr{\ •j-pp)* , tfp(i+ppy .
qpd X q 3
qux aequatio nimis efl complicata 3 quam ut ejus ulteriores in*' tegrationes fufcipi queant. Ceterum apparet hanc aquationem ciTe diiferentialem quarti ordinis s ita ut per quatuor refiduas integrationes quatuor conflantes adhuc ingrediantur : ex quo fex data oportebit effe punda* per qu& curva tranfeat, ut Proble¬ ma determinetur.
CAPUT
rAT> 'CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 83
CAPUT III.
De inventione curvarum maximi minimive proprieta¬ te pr adit arum yfiin ip/a maximi minimive for¬ mula injunt quantitates indeterminata.
Propositio I. Problema.
I. T Evenire incrementa , qua quantitas integratis indeterminata 3 A. in quovis abfcijja punfito , ab auCta alicubi una applicata N n panicula ny, capit .
SOLUTIO.
Sit abfeifla A H — applicata refpondens Hh==?, Se propofita lit quantitas quaecunque indeterminata n , abfeifla: AH refpondens, quas fit formula integralis indefinite integratio¬ nem non admittens. Quantitas hxc n ita fit comparata , ut ipfa , quatenus abfciffe AH feu pun&o H rcfpondet, abau&a applicata N n non mutetur : quod eveniet , fi in n differentia- lia non ultra quintum gradum affurgant; quem in finem quin¬ tam demum applicatam N n ab H h computando mutari poni¬ mus. Si enim in n differentialia altiorum graduum contine¬ rentur, tum deberet ulterior demum applicata poft Nn parti¬ cula infinite parva augeri. Sufficiet autem folutionem ad quin¬ que tantum differentialium in n contentorum gradus extendere ; cum inde, fi etiam altiora affuerint differentialia, folutionem ad ea accommodare liceat. Quemadmodum igitur pun&o abfeif- fae H refpondet valor n , ita fecundum noftram notandi metho¬ dum, pun&o fequenti I refpondebk valor n', pundto Kveron", pundto L valor & ita porro. Id ergo erit inveftigandum , quanta incrementa ex tranilatione pundti n in y finguii hi valo- res derivativi n', n", n% n/v/, Scc. accipiant* feu definiri de-
L 2». bent
w
84 2>£ METHODO M A X. ET M 1 N.
bent eorum difFerentialia , fi fola applicata Nn, quse ei$=y' variari & particula n v augeri ponatur : erit autem hoc fenfu d. n = o , quia vaiorem n punfto H refpondentem inde non affici ponimus. Quoniam jam n eft formula integralis indefi¬ nita 3 iit ea = f\_ Z~]dx> & [2] fit fumftio ipfarum x > y> p , r , s 8ct , ita ut fit d[_ Zj == [A/] dx-\- [#] dy-h [F] dp 4- CQ] dq-\~ [ F~j dr + [5] ds -f- [ Tj a?/; unde fimul valores derivativi ipfius d[Z]> nempe d[Z'J, 3 i[2,w]3&c,
per notandi modum receptum formari poterunt. His politi^ erit ut fequitur
n — f\Z~\dx
n; = /[Z] dx^r{Z~\ dx
w~ f\_zr\dx^- +
— /[ z ] ^ 4- r z ] + [ z' ] d x + [ z"] dx nN=fi z] dx 4- \z~\dx + [ z' ] dx q- [ z* ] dx 4-
&c.
Jam videamus quanta incrementa fingula htec membra CZ^dXy CZ"Jdx9 [Z'"Jdx, Scc. ex adje&a particula ni/ ad applicatam Nn capiant; qua? obtinebuntur ex ipforum diffe» rentialibus, ponendo loco difterentialium valores §. \6 Capitis procedentis expofitos : erit itaque
d. [Z] dx'= nr. dx.
m
dx*
d. [Z’j dx =m.dx([H~ SpQ )
d.rz''j dx= xv. A ( W - &+ ifP )
d.lZ"yx= n, AC Sf£? )
_ r « , 3K.w] 4^'] ,
7 \/-
J X:
V/-
123 [§."] _ pt'] , (23
dx*'dx*; J ~5
d.[Z']dX = „t.dX((X}-^ + ^-^-+^- dx
d. [Z"j dx — O,
d. [z'"]dx= o. & reliqua fequentia omnia evaneiient»
)
Ex
Al> CURVAS INVENIENDAS ARSOLU T A. 85
Ex his nunc colligentur incrementa valorum n , n\ n 7, n"'* &c. qua: recipiunt ex tranflatione pundli n in. v j erit fcilicet
d. n
d.n'
nv. dx.
d. n"= d.ii"-
d.n'[f~ n»\ dx (
dx
:n v-dx^-
M.
dx 3
[<n
dx 2
n?. dx('
4f r' ] + i fr] .
dxs '
3^1 + ^1 crrH+44 r'1— 4r]
4 PC4 4xs
d X*
)
. . 3[5f,/]+345'/]— 45'1 4rr'"] + — 441-'] + [ir] .
<ix+ dxs J
j nv _ ... ,[P/U] ro"! +<ffQ'"l , PCJ+afl*.'"] — <«]
■n — - jp- ^ -
[s!'']+3d[s"% id[s"]+d[s'] [ [r,|,]+44r',/i -e^rq+^dif] -d[r]
d.n
Mi
dx 4
n y. dx CC^']
j /rVi
)
^ t C' ]
__ a4X"W M , t [”'v]— ± 34^"]— 4^1
d xi d x4
_ d fr/v] — 4 d[T"'] + 6 i [T*] —4 d M +d[T] .
’ ~d~x\ '
Huic autem incremento aqualia fiint incrementa omnium /e- quentium valorum, nempe ipforum n % nv'", nIX, &c. At¬ qui valoris n'" & omnium fequentium incrementum idem erit
= n,^ ([*?'] - dSp- +
K L J d-x 1
+ ___ [r]
, 4 - j — — ). Poterunt autem hax incrementa ad ea-
d x d x
dem ligna reduci, refpedu litterarum [ P ] , [ Q], [R] 5 [ S ] a & [ X1] , ficque prodibit
£ 3'
d, Ih
85
DE METHODO MAE. ET M1N*
d.u
d.ii
o
: n v dx.
in
d.nf/ = n v. dx ( /
d.ri"—ni>.dx( d.nf~
dx$
[$1 4[rl+ wirri
D£l_3i5[] + 44s3j
:ny
f-ff. 1 _ 3^fA7] i ^[5'] -f~ 8^ [<$'] +5‘Ji[5/]
* ^x* ^x5 ~~ -
4M + 1U [r] -f 2o^[r] + 10 d% [r] .
d X5
d.n'1 </* ( cp_ rrn- ^+^±m+3jsg>
^ dx dx dx 5
- [s'l4^4-M+g^']4-4^3[^'] , [rj+^^+igjaCrj+io^VrJ+T^rn
cui fequentium valorum omnium incrementa funt aqualia. Q. E . I
C O R O L L. L
2. Si ergo n fuerit hujufmodi quantitas indeterminata, feu for¬ mula integralis indefinite integrationem non admittens , tum ejus omnes valorcs poft locum abfciff#., ubi una applicata augeri con- cipitur 5 mutationem patientur , & aliquot ejus etiam valores ante illum locum ■> quorum numerus pendet a gradu differentia- lium , quis iri ea formula n infunt.
C O R Q L L. IL
3. Quod fi ergo ifiiufmodi quantitas iniit in maximi minimi- ve formula fz dx , tum ejus valor differentialis non folum ab ali¬ quot abfciffs elementis, verum a tota abfciffa* cui maximum minimumve refpondere debet 3 pendebit.
JD CURVAS 1 N V E HI EN DAS ABSOLUTA.
C O R O L L. III.
4. His igitur cafibus abfciflam illam , pro qua maximum mi- nimumve queritur , determinatam effe oportet, atque curva quae, pro hac abfeiffa, maximi minimive propHetate gaudere reper- ta fuerit , eadem pro aliis abfciilis hac proprietate non erit prae¬ dita-
S C H 0 L I 0 N :
5. Mox clarius diferimen , quod intercedit inter qua?fliones , in quibus Z • eft quantitas vel determinata vel indeterminata , perfplcietur ; quando Problemata hujus generis fumus tradatu- ri. Pluribus modis autem tales qua?ftiones polfunt variari > prout in maximi minimive formula fzd x, quantitas Z vel tan¬ tum eftfundio ejufmodi formula? indeterminata n, qualem con¬ templati fumus , vel infuper quantitates determinatas , x , y , /> , q , r, &c. comprehendit. Deinde in Z etiam ineffe po¬ terunt plures ejufmodi formulae integrales indefinita? a fe invi¬ cem diverfae. Ad hos autem diverfos cafus una regula , fupe- rioribus jam traditis addita , fufficere poterit. Praecipuum au¬ tem momentum politum eft in ipfa formula indeterminata n — /X ZJ dx , pro qua hic pofuimus effe [ Z ] fundionem de¬ terminatam > quod fi autem ha?c ipfa quantitas [ 2 ] denuo ejuf¬ modi formulas integrales indefinitas compledatur , iterum pe¬ culiari folutlone erit opus. Quin etiam ifta complica¬ tio formularum indeterminatarum in infinitum poteft extendi j id quod eveniet fi quantitas [Z] denuo in fe compledatur ipfam quantitatem n, ita ut fit d[Z] = [L] dii -f- \_M~]dx + dy -b C P 4- [ [QJl^q -f* \_R^dr -f- &c. tum enim ob d n — [_Z~\dx , iterum confiderari oportebit valorem d[_Z~\ — lL2d 11 -p- \_M~\dx +.&c. hicque progreiTus in infinitum continuabitur. Hinc autem methodus nafcetur ea refol vendi Problemata , in quibus curva quaeritur maximum minimum ve habens valorem formula? fZdx ^ quando quantitas Znon datur,
ut:
88 DE METHODO MAX . ET M1N, i
ut ha&enus , five determinate five indeterminate , fed tantum
per aquationem differentiaiem , cujus integratio omnino non poteft abfolvi : cujufmodi quasillo e£l , fi queratur curva , in
qua minimum .fit expreffio LxhLtl 5 exiilente dv ^=gdx
'■ — hvndx y' ( i -hpp) •* atque ejufmodi quadlionum refolutio- nem in hoc Capite quoque trademus.
Propositio II. P r"o blema,
Fig. 4. 6, Si Z fuerit functio quantitatis indeterminata n , ita ut (ii
d Z = L du , fitque n = f (Z ] d x , exiflente d [ 2] =: £ M~\ d x -h [ N[ ] dy + [P]dp -f- [£L1 dq d- [#]d r + &c. invenire curvam az qua pro data abfcijfa A Z habeat vale¬ rem formula f Z d x maximum vel minimum 9
Solutio»
Pofita abfcifta A H = v , applicata H h = y , fit tota abfcil- fa AZ, cui maximum minimumve refpondere debet, = divifo igitur {patio H Z in elementa innumera infinite parva HI, IK, KL, LM, &c. debebit Q&fZdx -{- Zdx -j- Zldx + Z'1 dx - f* Zu/ dx + &c. donec ad extremum pundum Z perve¬ niatur, maximum minimumve. Ad hoc efficiendum , quserendi funt valores differentiales quos finguli hi termini a translatione pun&i n in v accipiunt, quorum fumma, nihilo squalis pofita, dabit aquationem pro curva qusfita. Quoniam autem muta¬ tionem ab nv oriundam non ultra H verius A porrigi poni¬ mus, erit termini fzdx valor differentialis nullus. Reliquo¬ rum terminorum valores differentiales reperientur, fi ii differen¬ ti en tur , atque in differentlalihus feribantur ea incrementa , quae in Propofitione procedente invenimus 3 ex translatione pundi n in v oriri. Erit autem ,
d, Zdx
rAD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA gf
w s.
d. Z dx Ldx, d II .
d. Z' dx w=s L' dx. dii d 2V ^ x = U' dx.dif d. Z" dx = L'"dx.dri" d. Z!vdx = Ln'dx.dri"
Quodli jam loco differentialium <f/n, ^n', <afi/5 dnf/\' &c. va¬ leres fupra inventos ex translatione puncti n in ^ ortos fubfti- tuamus obtinebimus. d, Zdx = o.
d. Z dx = mo U dxz .
dx5
d, Z’ dx = m.Udx* ( E!
M
4.r Tl 4- fj[r]
dx S
d.Z"dk=m.L"ilx\ — 3[^']+4^[s'] . j_ gf^l + k4t! 4- \od£r\ .
V d V 3 ^ J
d. Zn'dx=ttv.L'''dx\1^-
dx^.
dx* d x*
JM+3lQ, 3[^']+84^'1+g^1 d A d x4
_ _ 4prl+ I^[r] +2Q^[r] + io^lrk
d.Z’dx = nv. L’dxX — ECT+M^]+ M±Mffl±3^M
j+L,, . . . ~~ L-JT-y. LMj
40 , <*€£"] *W] , i4#}
» j 7 3 "i- J „4 ~T~i J
d.Z^dx^.Vdx^Wl— - ,
J x «x x* d x* d x
dd'"dx^nv.L’’dx\lN''] — _pS)
VL- J Av. 1 dx* A v* 1 /Jv4
&c.
Sequentium fcilicet terminorum incrementa eadem hac lege pro¬ grediuntur. Addantur jam fenorum priorum terminorum incre- menta , prodibit terminorum Zdx Z dx ~j- Z" dx -f- Z"dx -p-2 dx ~p A' dx incrementum totale =
n + 2 L"'d\Q'"-\ , mddL''^jmVL'"+3L'"ddlR» dx dx * ^
_ [S']d*L? +4d [ S']ddL " + 6dL"dd [5'] + U^dJ !Y]
d x4
Epleri de Maxt & Mm . M 4,
$o DE METHODO MAX. ET MIN.
, r TW'L' 4- <d{TWL'+ 10 dd \f\ddL' + TO dldd^f] 4- a'd^T\ v
^ 77s — — ;
in qua exprefiione 3 quia omnes termini inter fe funt homoge- nei, jam indices numerici negligi poterunt. Sequentium autem terminorum V" dx-\-Vn/ dx 4- &c. omnium incrementum erit =
nv. dx (£N ']
diri , d*m , d*[s']
*» ] . _Z J .. 3 ‘i*’
dx * dxx dx 1 1 d x* dx
dsm ^
( V" dx 4~ E W/ 4- V'"dx 4- Lx*dx 4- &c. ufque in Z ). Hic autem pofterior fadtor definietur per integrationem for¬ mula /Ldxj qua? rclpondet abfciffae indefinitae AH = ^j po¬ natur in hac formula poft integrationem x-=^a , abcatque ea in II i erit H valor formulae fhdx abfciffae toti propofitae AZ refpondens; a qua ergo fi auferatur fhdx> remanebit H — Jhdx valor portioni HZ vel NZ refpondens, qui ergo loco U" dx 4- Lv// dx 4- V"" dx 4™ &c. fubftitui poteft. Quamobrem tan¬ dem formulae valor difierentialis toti abfcifia? A Z ref- pondens erit =
nv
. dx (H — :fLdx){[N} — +
d x
dd[Q]
d xz
, d\$] d xl 1 d x4
,®v d xs '
^-vp.dxXL[P]
[Q]dL+2Ld[Q\ ^ [lQddL+UMdL+ 3 Ldd[Rj
d x 1 - d xz
r mi3L4-4^F-s]^E + [^1 . . : : j.
d x^
. , r ry4i + <r^ [ r]#L4- ioii[ r]Jii4- io dul f r] + ^Ld4[ r]
+ dx 4
qui ad hanc formam commodiorem reduci poteft, ut fit == m.dx ( [JV] ( H—fLdx ) — 4 + dd.[Q](H—fUx)
d OC d- OQ ,
_ j*.[X](H— fiZJx) /LJx) -
qui valor difterentialis, quoufque occafio poftulabit, ulterius conti¬ nuari poterit: is autem, nihilo aequalis pofitus ? dabit aquationem pro curva quaefita» E. I.
C Q*
A D CURVAS INVRNJR^UAS ABSOLUTA. 91
C O R O L I.. I.
7. Quoniam H — fLdx efi: valor formula fLdx refpon- dens abfciflae portioni A Z = — ,v, fi ponatur A Z = a — erit fhdu ille ipfc valor H— fLdx , quo opus
cftj fiquidem fhdu ita integretur 3 ut evanefcat pofito # = o*
C o R o l l. II.
S. Quodfi igitur abfcifiarum initium capiatur in pun&o Z 5 ita ut ablcitfa ZH ponatur = # v utque ubique ponatur x =3 ^ prodibit aquatio pro curva inter coordinatas u 3c y ; hujufque curva: ea portio quaefito fatisfaciet , qua? refpondet abf- ci(& A Z~a. Interim notandum eft cum in ipfa maximi mi- nimive formula / £ d x , tum in f\_Z]dx, abfcifiarum initium in pun&o A capi debere.
C O R O L L. III.
9- Si ergo quaeratur curva ad datam abfcMam A Z relata ; In qua maximum minimumve debeat effefZdx; fitqueZ func¬ tio quaecunque ipfius n—f[Z]dx , exiftente dz^hdn &
*lz]=lM~\dx+X.N-\4y+ [P]dp + t Qfdq Hb lK]dr + &c, habebitur pro curva quaefita ifta aquatio :
o=r Nl/Iidu _ dj£)fLdu dd.[Q]fLdu _ d 1 fi\l CUtt , 0._,
L dx ^ dx2 ~df3 +
ubi eft u = a — , & /L ^ 0 denotat valorem formulae fh dx portioni abfcifiae H Z = u refpondentem0
C O R O L L. IV.
10. Pofiunt ergo vel bina abfcifiarum initia A & Z3 binae- que abfciift? AH=a:, & Z bi = u confiderari, quarum illa m integrali f[ Zjdx ieu 11 , h^c vero in integrali fhdxfyec~ tari debet 3 vci unica tantum abfdfifa AH= ,v ; qU0 cafu5 loco
Mz fhdu
9t DE METHODO M A X. ET M 2 Et.
f L d u fcribi debet H — / Ldx ; denotante H valorem , quem probet formula /L dx , pofito x = A H = a.
C O R O L L. V.
1 1 . Quia ^ eft funbio ipfius n tantum , ita ut nullas alias quantitates variabiles in fe complebatur, ob dz~ Ldn, erit etiam L funbio ipfius n tantum,
C O R O L L. VI,
12. Si [zj eflfe t fun&io ipfius x tantum; tum foret n ===== f[z]dx quantitas determinata, atque fundio ipfius *, hinc- que etiam ex quo maximum minimumve non inveniet lo*» cum. Idem oftendit folutio ; fiet enim [V] = o, [Ii] =._q &c. atque aquatio abit in identicam o = o,
S C H 0 L I O N 1.
13. Occurrunt hic nonnulli primarii cafus confiderand! , quo¬ rum primus eft, fi fuerit \_Z~\ funbio ipfarum x & y tantum y Ita ut fit d [ ^ ] = [ JVf] d x + [ JV] dy. Quod fi nunc quadra¬ tur curva in qua maximum minimumve fit formula fzdx pro data abfcifta A Z = a , exiftente Z funbione quacunque ipfius f[_ Z~\dx ===== n , ita ut fit dZ==Ldn; habebitur pro curva quaefita ifta aquatio o = [V] (H — fLdx^ \ erit ergo vel [V] = o vel H==fhdxy feu L = o ; quarum aequationum fi vel altera vel utraque praebeat lineam curvam, ea non folum fatisfaciet Problemati pro abfciifa A Z = a , fed etiam pro alia quacunque abfciifa indefinita x : id quod inde colligitur , quod ex tequatione , quantitas H, qua? pendet ab abfciifa determinata a. , ex calculo exceflerit. Quod autem fpeciatim ad aequatio¬ nem L — o attinet: quia L eft fiin&io ipfius n feu f\_Z~\dx 3 fiet /[ Z~\ dx = conft. determinata , quod nifi fit [Z1 =0 5 fieri nequit : bin^e igitur aquationes hoc cafu fatisfacientes, erunt [$]■=== o atque [ ZJ — o+
SCHO -
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA, S C H 0 L I 0 N II,
*►
14. Deinde vero confiderari meretur cafus quo [ iV] evanef- eit ; id quod evenit , ii [_ Z ] fuerit fun&io ipfarum x , p , q , r , &c. non involvens y. Ponamus eife [Z] fun&ionem ipfa¬ rum x &/, atque ^[Z] = 4- [P]^/. Si igitur
ponatur /p Z] dx = n , atque curva queratur» in qua, pro abf- ciifa definita AZ — 4, maximum minimumve iit formula /Z dx , exiftente Z funftione ipiius n, ita ut fit dz — Ldn; orietur
pro curva qutefita ifta tequatio o = — ^ E p V\H~JL -
ideoque Conjl. = [P] ( H — fLdx ). Ha?c vero conflans, per integrationem ingreifa , non eft arbitraria ; nam eam ita com¬ paratam eife oportet, ut pofito x=a, quo cafu fit /L dx = Hy
fiat
Conjl.
T^T
O.
Hoc autem evenire non poteft , niii vel ha5c vel quantitas [Pj ita comparata fit ut
conflans ponatur = c
fiat = co , pofito x a. Priori cafu habetur vel [ P ] vel fLdx^=:H0 hoc ei!L=o, feu f[Z]dx = Conjl . fieu potius [Z] =0 ; pofteriori cafu autem, conflans tamen pro arbitrio non accipi poteft , nam determinabitur , ponendo x — a — dx3 eo modo, quo exprelfiones qua: certis cafibus indeter¬ minata videntur definiri folent. Atque hinc perfpicitur in hu- jufmodi Problematis numerum conflantium arbitrariarum in fo- lutionem ingrediendum , cui aqualis fumi debet numerus punc¬ torum , per qua? curva? fatisfacienti tranfeundum efl , non ex gradu differentialium judicari poffe. Pervenietur enim fa?pe , tol¬ lendo per differentiationem omnes formulas integrales, ad a?qua- tionem differentialem altioris gradus, a quo nequaquam Proble¬ matis determinatio per aliquot pun&a pendebit.
Exemplum L
15. Si denotet n aream curva fy dx, atque Z fit funElio qua¬ cunque ipfius n, invenire curvam qua^ pro data abfcijfa = a , ha - beat v alor em formula fZdx maximum vel minimam, -
M 3 Quia
24 2)5 METHODO MAX. ET M IN
Quia eft z fim&io ipfius n; fit d Z =3 Ldu^ erit L fim&io ipfius ii=fydx . Deinde cum fit dn=ydx ; erit [Z] = v5 & ob [Af] dx -h' \_N~]dy + [ P~]dp -f- &c. fiet
[ Af] = o , [ AT] = i , [P] = o, [QJ = o 5 &c. unde pro curva quaefita haec habebitur aquatio o=-H — fLdx\ ideo-* que L = o. Hinc erit n =fy d x = conflanti cuidam, porro¬ que ^=0. Satisfacit ergo fola linea redta in ipfum axem in» cidens j idque pro quacunque abfcifla seque ac pro definita
Exemplum II.
1 6- Si n denotet arcum curva = fdx\/(i~f-pp) ejufque fundito quacunque fuerit Z ; invenire curvam , qua , pro data abf cijfa A Z = a , habeat v alor em formula f Z d x maximum vel mini~ mum .
O b dZ = Ldn, erit L fiin&io ipfius arcus ix; & ob dn d x f ( erit [Z] —V (1 +//>) & [M]— o ,
CAr] = o3 [P]= &c- unde pro
curva quaefita ifia habebitur aquatio: ° = — d.
( H - — fLdx); hincque C = "77-1 tf"p v ) ^ — fLdxf ubi conflans C ita determinari debet, ut, pofito x=a> fiat
C — vrr+77) x 0 5 quare quIa V(4») !nfinitllm fieri
• p
nequit, necdfe eft ut fit C=o ; ldeoquevel ^ ^ ==z 0 *
vel fLdx-=H. Fiet ergo, ex pofleriore aequatione, L = o, & n = conflanti cuidam : ex quo porro deducitur d n == dx \! ( 1 -\~pp) = o , cui conditioni nullo modo fatisfieri poteft. Ex priore aquatione autem deducitur /> = o , feu dy = o, qu^ eft aequatio pro linea reda axi AZ parallela, quae quaeftioni pr;o abfciifa quacunque fatisfacit.
E x e M-'
rAD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA . 95
Exemplum III.
1 7. Denotet n fuperjiciem folidi rotundi ex converfione curva a h circa axem A Z 07V/ , qua ejl ut fy dx\/ (1 +p p)? hujufque fuperfciei fundiio jit quacunque Z ■> invenire curvam , />2 pro data ahfcijfa A Z = maximum minimumve Jit f Z d x.
Ob = L^rr, erit L fimftio ipfiusn=: fydxsj (1 -\-ppU
Sc ob dn = ydx \J ( 1 +//) fiet [2] =7 \/( 1 +pp) 5 &
+ unde erit [M] = o,
[ # ] — V ( 1 +/■/ ) i [ P ] = , reliqui valores
[QJ , [12] , [«S1], &c. omnes erunt =0. Quocirca pro curva qu^fita ifla habebitur aquatio : o ==f H — /X dx^J ( 1 -{-p p)
'■ — ^ — -fLdx). Ponatur , brevitatis gra¬ tia, H—/Ldx= V i erit Fdx</( i +pft = d. ~ ^
,j J_Pj_^\kaVdjL
J, _ . __ . _
VCi+PiO — - ypLdx 3 ob dV— — Ldx.
^~bPP 4 y/F ” iHbPP Ponamus effe Z — n, ita ut maximum effe debeat fdxfydx
'%/ ( lJrpp) 3 erit L — 1 8c/Ldx =xy atque V=a* — at ,
ob H a. Erit Qa- — x) dx == - x ^ Sit
*+?? .
a—x=u; erit — — du3Sc dy^=.—-pdu> atque habebitur ihatequatio* o = udu~-ydy+^, feu udu—ydy -
ArPP
t i t
duz -\-dy
Ponatur u?=e &y^=iez: erit du^=^e dt 3 & ddtr=. o === e1 Qd dt -)rdtz ) , feu ^ 2 ; porro dy^=ef (dz,-\-zdt)
§€. ddy^zz e Qddz + zdtdz} $ quibus fubHitutis 5 oritur
—
pS DE METHODO M A X. ET M 1 N.
J * ~ J ~ ~ ~ J x. ^ d t ( d d Z “f* 2 d t d £ ) ,
dt z,d~ Z~dt. — ^<*-qp(,i,+737)'s'v Slt Porro dt
r=sdzy erit d dt ■=. — sz dzz = sdd Z A-dsdz 3 hineque ddz — — s dzz Habebitur ergo hoc aquatio ,
j i / ^ d Z 1 Z d s
s dz — £ # -s ~ szzdz =2= — — — - — j
jj + ( i+*«)
differentialis primi gradus inter duas variabiles j & z tantum i verumtamen ultra integrationem non admittit. Multo minus igi¬ tur quicquam effici poterit, fi in genere quoftionem confideremus.
quas quidem eft
S C H 0 L I 0 M III .
1 8. Hujus exempli cafus , quo curvam inveftigavimus , in qua maximum minimumve fit fdxfydx\J{ i etfi ineft du¬
plex lignum integrale , tamen etiam per methodum proce¬ dentis Capitis poteft refolvi ; id quod ideo opero pretium eft offendere , ut confenfus utriurque methodi declaretur. Praeci¬ pue autem hoc opere nova via patefiet refolvendi plurima alia Problemata circa maxima & minima 5 quo adhuc 5 quantum confiat 3 non eft tada. Quoftio fcilicet eft •> ut pro data abfeif- fa A Z = a , fiat maximum minimumve hoc exprefTio fdxfydx V ( i +//> ) 3 quo tranfmutatur in hanc x fy dx \I ( i +//>) — f x y dx */ pp}. Ut hoc forma reddatur maximum mi-
nimumve, oportet ut ejus valor, pro abfeiffa AZ =4, idem fit pro ipfa curva quofita az & pro eadem pundo n in v tranf- lato. Ponamus ergo fieri fydxsf (i = A, fi ponatur
* ===== a , atque eodem cafu fxy dx \J ( i q~ pp ) == B . Jam , elementis mno in m v o tranfmutatis , valor A augebitur fuo va- lore differentiali, qui per Caput procedens, eft =nv. dx( \/(i~{-pp)
— ~ d. p ) ; per eadem procepta autem quantita¬ tis B valor differentialis prodit =n r. dx (x \/ ( i 4-//)
— •— d. [^Tpp ) " )• Quamobrem forrnulo propoflto
fdxfydx*/ ( i tranflato pundo n in v , pro abfeiffa AZ
=
AD CVRVAS1NVEN1EN DAS AB SOLUTA.
97
— a, valor ZtVL\—a{A+mdx{\J( i +•//>) — )
— B — n v (xdx V ( i +//) — d. —VL1 — _) , qui a?qua-
V\ 1 -r P p ) 1
iis effe debet ejufdem formula valori naturali pro abfciffa = a, non mutato pundo n, qui cft aA~ B. Hinc proveniet ifta
aquatio Qa~ — xjdxf (%i -\~ppj — d. — fvlJ = o ;
qua? omnino congruit cum aequatione in folutione Exempli in¬ venta.
Propositio III. Problema.
i 9 . Ex ‘d flent e n functione integrati indeterminata f [ Z ] dx, ita ut fit d [ Z J = [M]dx + [N]dy + [P Jdp + [ QJ d q + [ R ] dr +• &c. fit Zf unctio quacunque cum hujus quantitatis n , tum quantitatum determinatarum x, y , p , q , r , s , &c. ut fit d Z = Ldn + Mdx-p Ndy+Pdp + Qjd q + R d r-f- &c. invenire curvam az , qua ^ pro data abfciffaK Z — a, habeat ma¬ ximum minimumvc' valor em formula fZdx.
SOLUTIO .
4
'Augmentum n v, quod uni applicatae Nn accedere concipi¬ tur , ita remotum a prima appficata Hh capiatur, ut nullam mutationem interat in valorem formula? fZdx abfcifia? AHref- pondentem , atque tantum hujus formula? valores fequentibus poft H abfcifia? elementis refpondentes mutationes patiantur , qui funt Z d x , Z' dx , Z" dx s Z‘f/ dx , &c. ufque ad ultimum abfeiflie elementum in Z. Horum igitur valorum incrementa a tranflatipne pundi n in v orta, fi in unam fiimmam conjician¬ tur , & nihilo a?quales ponantur, dabunt aquationem pro curva qua?fita. Incrementa autem horum valorum obtinebuntur eos differentiando , & loco diflferentialium eos valores feribendo s quos fupra , tam in ultima Propofitione procedentis Capitis quam prima hujus , ex tranflatiQne n in v oriri invenimus : ita erit Euleri de Max, dr Mint ° N dfZdx
58
D E METHODO MAX. ET M1N.
Z d x — : dx f it d n *|* Mdx -j— iV dy q~ P dp q-> &c, ^
d. Z' dx == dx(L' dnf + M' dx ~f- N'dy' 4- P'dp' -f- &c. )
d. Z"dx = dx {V dn" M" dx i- N"dj" + P"d/ &c. )
&c.
Quod fi nunc loco diflrerentialium ^it, dn' , dnr/ $zc. dy > d?;.. dy" t &c. dp , dp’ , dp r\ &c. dq, dq \ dq "y &c. valores fupra invenri fubffituantur , & eodem modo , quo ante ufi fumus , in unam fu trimam conferantur, prodibit formula? fZdx pro |bf- ciiTa A Z = a valor differentia] is =
»n. dx ( [Nj ( H — TLdx) — . g[gy,^-/^)
dx dx z
d3- [X](ff — /Ldx) t d+. — /L.d*) x
Jv* /.v.4 - 0CC* /
d x'
0 + S? — &e- >
d X3
, » x d P . d d Q
+ dxiN — Tx + Yy- Atque ex hoc refultabit aquatio pro curva quedita hsec
o — r JV1 ( H—fLdx ) — A.[f3 UL=1LA*2 ,
. dd.\Q.](H - ELdx) jjjjjjj - £LJx) ,
.+ - 1 TdX dx' -t- <XC;.
+ iv' dx ^ dr a
x
d ^ ^ i3' — * ^c# n°tan^ui^
dx
effe H valorem formula /L 3 qui oritur pofico x =
E. L
€o R O L L. E
20. Regula Igitur Capite praecedente inventa amplior efi red¬ dita ; nunc enim curvam definire pofliimus , maximum minim imve habentem valorem formulas fZdx > fi Z non folum eft fandio quantitatum determinatarum x, y, p> q , r, &c. fed etiam unam quantitatem integralem indefinitam /*[ ia fe ct m-
gle&itur: dummodo [Z] fit fundio determinata.
C o*
o
AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA .
C O R O L L. II.
2x. Quin etiam fi plures hujufmodi quantitates integrales in¬ definitae fuerint in Z ; folutio ufurpari poterit. Nam qualis ex- preffio ex una ejufmodi formula indefinita in valorem differen* tialem eft ingreffa, tales ex fingulis, fi plures affuerint, nafcen- tur 3c ad valorem differentialem accedent.
C O R O L L. III.
'22. Quoniam Z hic ponitur fun&io non folum quantitatum de¬ finitarum x, )■>/>, q, r &c. fed etiam quantitatis indefinitae ^ \jT\_ Z [] d x , oh d Z , — L d U — }— NI d x — f- -V d j ~f- P dp — h QJq 4- &c, etiam quantitates M, N, P3 Q&c. hanc formu¬ lam integrarem n =/f Z] dx involvent ; atque etiam ipfa quan¬ titas L , nifi forte n in Z unicam habeat dimenfionem.
C O R O L L. IV.
23. Hanc ob rem , in aquatione pro curva inventa, inerunt quantitates integrales duplicis generis, fcilicet /L dx , atque J[Z]d x : ex quo, fi aequatio inventa per difterentiationem ab his formulis liberari debeat , ad mulco altiorem differentiaiium gradum affurget, quam quidem ipfa forma offendit.
C O R O L L- V.
Pervenietur autem, eliminando has formulas integrales, ad aequationem differentialem duobus gradibus altiorem. Quod Ii enim aequatio refultans , fi evolvatur , fit differentialis n gra¬ dus; tum primo ex ea definiatur valor formulae f Ldx , & dif- ferentiatione inftituta, devenietur ad aquationem differentialem 1 graduum , in qua adhuc inerit formula f\_Z~]dx3 quae ulterius redudfa , & a formula f\_z~\dx per differentiationem libejata , fiet differentialis gradus n 4- 2.
N 2
s c u 0«
100 x>n METHODO max.Vet MlNZ ,
S c H 0 L I G N L
25. Etfi autem numerus pundlorum, per quae cum quofi- ta tranfire debet, a gradu dijferentialitatis pendet, tamen hoc cafu non per numerum n 4-2 definiri potefl. Aqua¬ tio enim haec differentialis ^+2 graduum ,poteflate quidem in¬ volvit n Hb 2 conflantes , verum eae non omnes funt arbitrariae. Una namque conflans ex eo determinatur , quod integrale f[Z~] dx obtinere debeat valorem, non vagum, fed talem qua¬ lem in quantitate 2: obtinet , hoc efl , qui evanefcat pofito x =s o , fiquidem hoc conditio fuerit in formula fzdx afium- ta. Deinde pari modo una conflans definitur formula f L dxy qua? , ufi pofuimus, evanefcere debet pofito #=o. Quocirca tantum n fupererunt conflantes mere arbitraria?, quae -totidem? praebebunt puncta , quibus Problema determinabitur. Simili¬ ter igitur, uti in procedente Capite, Problema, ut fit determi¬ natum , ita erit proponendum , ut inter omnes curvas per data n pun&a tranfeuntes ea determinetur , quae pro data abfcifla .x = a contineat valorem formulo fzdx maximum minimum- ve. Ad hanc igitur dijudicationem inflituendam , oquatio? inventa debebit evolvi v hoc efl , omnes differentiatiortes indi¬ cato a<51u perfici debebunt j quo fadlo, patebit quanti gradus differentialia infint ex hocque gradu habebitur numerus Quantum autem infuper circa hunc numerum n obfervareliceats in Exemplis fequentibus videbimus.
Exemplum I.
2 6- Invenire curvam > qua , pro data abfcijfa AZ= a, habeat valorem formula fyxdxfydx maximum vel minimum , integrati fydx ita accipiendo 3 ut evanefcat pofito x = o.
Erit igitur u=fydxy & [ 2 ] ^=y ; unde fiet [ JT] ==1 5 rc-» E'q.uis litteris [ M~\ > [ P ] , [_QJ\ 3 &c. exiflentibus == o. Porro erit Z=r— y x n & dZ === yx dn -f-y ndx -\~xndy ; ex quo habebitur L ~y x y M —y n. & N,^=xji3 P— Qj= R38cc.
O e
^ aJ) et/lPJs ikyEkimnAs absoluta, ipt
~?=Ao. Ex his formabitur pro curva qua*fita ifta requatio ; o — (H- — fyxdx') +#n kufyxdx^zHA-xfydxs ubi H eft valot/formuis v fyxdx , qui prodit pofito x-=a. Per/picuum autem eft hinc nullam pro aliqua linea curva aquationem oriri: differentiatione enim inftituta., fkdxfydx = o , porroque y = o3 qua? eft aequatio pro linea reda in axem A 2 incidente.
Exemplum II.
27. Invenire curvam , qua 3 pro dat a abfcifa AZ = a, hahedi
vdlorem formula fvdxfdxy/ ( 1 + p p ) maximum vel minimum.
■ v \
Quoniam igitur eft n — f d x s/ (i+pp) > erit fi z ] =
V ( 1 -f -/>/>) & fi E] == : E°rro erit Z == y n &
L—y i & N~m reliqua litterae omnes evanefeunt. Hinc ergo refultabit ifta aquatio pro curva qusefita : o = x
d, + n fea ndx =, (JLy mi ^
V(I +??) . V(i'+ff) (i + />#)*
(H - -jTjy dx) dp _ _ _
(i + ??)*
jy p d x
sffii/ ers° dxfdx VC I -h-/’/’ )
^7(7^^* Quia IgitmGzfydx—H, polito *= eodem eafu fiet fdx\J(\A-pp')~
— .yp V(i 4-wO
arcui curvae abfdlfe
* refpondenti. Quae conditio adimpleri debet per determina¬ tionem unius conflantis, qu^e per integrationem ingredietur. Eft autem adu hsec aequatio difterentlalis fecundi gradus, quae vero bis debet differentiati , antequam a formulis intcgralibus fydx & fdx\ f (1 -]-/>/>) liberetur: hocque modo ad gradum fextum affurget , & poteftate fex conflantes involvet 5 quarum duae inde determinabuntur , quod fado at == o evanefeere de¬ bent formula Jy dx & f dx 7 ( 1 -\~pp ). Ipfa autem aqua¬ tio ita fiet intricata ? ut ejus tradatio fufeipi non mereatur.
N 3,
Ex.&te
102
DE METHODO M A X. ET M 1
Exemplum III»
2 g , Invenire curvam , in qua Pro data abfeijja fit f— fydx maximum vel minimum .
Hic erit n ==fy & [ Z] == y & [2\T] = i ; deinde
cum fit z = — erit L P
— & P
n
; reliqua Iit-
* r P PP
ter a? omnes evanelcunt. Hinc ergo prodit ifta aquatio, o =
ff— /- + -P-d. — ; feu o—H — f- + ^ - 2nd?
p d X pp J p p p
■d x
Pofito ergo x = quo cafu fit fL-
2nd r
~™.Differentietur ea ^quatio3 eritque o:
2 ydp . 6ndp* znddp c ,
- 73— d — zprrz - - 3~r — - • be\XQ — ^nap
p3 dx H ; erit y dx —
d x . d x — ! — —
_ 2jAi
p s
p' ■ flhc Jrdx~’ -2}pdxdp
upddp ; qua? aequatio commode fit integrabilis , fi divida-»
3 dp 2%V dx d d p
l . Seu C n* d p =3
2,11 dp .
dp 3
CUJUS
turper npdp , prodit enim o = integrale eft C— 3 lp = 2 /n p’ dx; pofito ergo x=:a3 cum efle debeat^ <^at
e
erit ex hac aequatione Cny==2pz , qua una conflans definie- tur. Erit ergo n= V ££ = — ’feu 3^—
— dp 3 quae aquatio eft difierentialis tertii gradus;
& propterea praeter conflantem £ ( pofuimus autem -*r loco C )y tres novas conflantes involvit. Harum una determinabitur, eo quod 5 pofito x=ia, fieri debeat ~ = 2 pp ; alia vero inde
= o , feu — o. Re
liqua?
quod, pofito x™o3 efle debeat n
' AD CVRVAS lNrEMl&NDAS JBSOITJTA* 103
liquer binae conflantes manent arbitrariae, ac propterea curva qu^fita per duo data pun&a per qua; tranfeat, debet determi¬ nari.
Exemplum I VY
2p. Invenire curvam az ad abfcijfam AZ = a relatam , in qua fu i d x maximum vel minimum.
Hoc exemplum ideo afferre vifum eft , ut appareat quomo« do qua;flioncs ejufmodi fine refolvenda; 5 fi du^ plurefve for¬ mulae integrales indefinitae adnnt. Sit igitur fy x d x = n & fjdx =. 7r : & pofito dn = [ Z] dx , & */5r = [Ye] dx , erit [ Z J = j x , &[«]==_;. Quod fi nunc littera minufcula [a] fimili modo tradetur quo majufcula [Z]5 ita ut fit d\_z~] =
[mjdx-j-* [n]dy + [_p ] dp +• &c. erit [A/] =y & [A] — itemque [»•]= 1. Deinde cum fit Z — —5erit^Zr= —
7T 7T
*— Ponatur — = L & = l ; atque habebitur
7T 7T 5T 1
ob 2V & P , £>^ jR3 &c.= o 3 ifla pro curva qusefita aquatio, s=*(fl-/-) — 1
ST '■ 7T ir
— ^ 3 fi ponatur #=*,
6cf~
7T
Cum igitur fit Hx
xji2 = 6—fILi* erit difFerentiando H — /
rrr ^
Pofito ergo #=/*3 fieri debet n: denut^prodibitque - — — 4- ^ — -
n
%
w
•d x X _
7T 7T-
sr x. Dlfferentietur
yjy
i
7T
+ -n;~ 3 feu xy
7T
Si porro differentiatio 7 r dx 4- y xd x — - 2 7T dx -{-> djh vel-—^ =~’ Quoniam vero y
pofito.
n — i hincque H=fx infiituatur 3 habebitur yxdx -
7T 71 d y r
3 knyydx = 7r
7T7T 2 '
io4
DE METHODO MAX.ET MI N,
x = o 5 fit w = o 3 fiet hoc ea fu
d y
dx
JEqUfr
tio autem
y
7T
dy
Y
, ob y dx=d7r , integrata dat w -
by ; ideoque fado x = o evanefcere debet ya Ex aequatione 7T == by autem fequitur y dx = b dy ; hincque x = £ ly — b l o, fiquidem 7r = by evanefcere debeat, pofito x = o ; quo ca- fu fieret y= o , & curva abiret in redam in axem A Z inciden¬ tem . Sin autem ponamus, pofito x = o valorem sr =^fy dx
non evanefcere oportere, fed fieri = b c , erit x=bl-^~ ,
C
qua? eft aequatio pro Curva logarithmica. Ad hanc penitus de¬ terminandam , queratur valor n—fy x dx; quia eft ydx^= b dy , erit yxdx == b x dy , & n = b x y — b tt + Confi. feil
= b b y l — -
n
b by-dr C. Oporteat autem n efie
pofito a;= o , feu y == c, erit n Jam ponatur x^=za , erit l — =
bb y l •=— -^-b b Qc -
C
a
T5
& ^
b
hoc
vero cafu , necefie eft ut fit n = ^ at , feu ^ $ c e1'^ q- bbc
bbc
a:b
j a:b * • b
d b c e , hincque e
i , unde erit, vel a
o,
vel b = oo . Incommodum hoc inde oritur , quod pofiumus fieri n = o , fado x . = o. . Ponamus igitur,